Рынок всегда движется волнами, что очевидно. Не удивительно, что десятилетиями трейдеры пытались найти особые рыночные закономерности, которые помогали бы прогнозировать развитие волновой структуры. Создавались различные системы, где под волны подводили теоретический и практический базис. И, пожалуй, наиболее популярная теория на этот счет называется “Волны Эллиотта”.
Ральф Нельсон Эллиотт (Ralph Nelson Elliott) был, собственно говоря, профессиональным бухгалтером. У него явно была масса времени для анализа графиков за несколько десятилетий, поэтому все свои наблюдения он изложил в крошечной книжке “The Wave Principle”, которая увидела свет в далеком 1938 году. По мнению Эллиота, все в человеческой цивилизации находится в некоем ритмичном порядке, поэтому этот ритм, эти волновые амплитуды можно «протянуть» в будущее, что позволяет прогнозировать финансовые рынки.
Надо сказать, теория Эллиота при жизни мало кому показалась интересной. Подумаешь, очередная сумасбродная идея в дешевой малостраничной книжонке. Эллиотт ушел в мир иной в 1948 году и про него сразу забыли. Его теорию использовало буквально несколько биржевых специалистов. Лишь благодаря Чальзу Коллинзу об этих волнах вообще вспомнили на Уолл Стрит. Затем их популяризовал Гамильтон Болтон в 1950-1960 годах, выпустив книгу с подробным описанием и практикой использования.
Болтон познакомил с волнами Альфреда Джона Фроста, что активно комментировал их в 1980е годы. Фрост приложил немало усилий, чтобы популяризовать эту теорию. Все эти годы она была не особенно кому-то нужна. Так… нишевый инструмент, один из тысяч.
Безусловно, больше всех здесь постарался Роберт Пректер. Именно благодаря ему, когда он подхватил знамя у Фроста, волны Эллиотта обрели всеобщую популярностью, спустя почти 50 лет после того, как бухгалтер Эллиотт написал по ним книгу.
У многих технических систем похожая судьба. Их забывают, при жизни авторов не ценят, а потом вдруг они становятся популярными, когда их продвигает фанатичный последователь. До сих пор Пректер считается главным экспертом по волнам Эллиотта, а его сайт elliottwave.com является главным мировым ресурсом по этой теме. Там масса клевых прогнозов, скажем, специалисты сайта Пректера без особых проблем спрогнозировали кризис 2008 года за несколько лет до его появления. Фактически, современный Эллиотт – это Пректер и его школа.
Волны Эллиотта, по своей сути, имеют фрактальную основу и задача их практика - разложить волны на понятные элементы. Их мы сейчас и рассмотрим.
По мнению Эллиотта, рынок движется в волновом паттерне, который называется 5-3.
При этом волны 1, 3 и 5 являются основными, они идут по тренду. А волны 2 и 4 - коррекционные.
Вот так выглядит типичный импульсный паттерн из 5 волн:
Не очень понятно, давайте разукрасим:
Вот, так намного лучше видно каждую волну. Теперь краткое их описание. Сам Эллиотт видел в волнах, в первую очередь, эмоциональное и психологическое состояние трейдеров.
Первый импульс вверх. Как правило, это первый эмоциональный посыл людей, которые решили, что наступило время прикупить себе актив. Цена начинает расти.
Здесь народ решил, что волна 1 закончилась и выходят из сделки. Цена, в результате, уходит вниз, ибо покупатели все свалили праздновать. Однако, цена не обновляет нижние минимумы и разворачивается не доходя до них.
Обычно самая сильная и «долгоиграющая» волна. Здесь на цену обратила внимание основная толпа трейдеров. Ну вы понимаете: Вася сказал Пете, Петя - Коле и вот все несутся покупать, а волна бежит вверх.
Снова выходят те, кто закупились ранее, однако, волна не особенно откатная, поскольку куча народу ждет дальнейшего роста.
А это уже пик тренда. Все умные уже вышли, а ценой управляют сугубо эмоции и вера в то, что тренд будет длиться вечно. На самом же деле, жить ему осталось совсем недолго.
Строго говоря, все три импульсные волны всегда «расширенные», поскольку одна такая волна всегда длиннее других, вне зависимости от угла их наклона. Эллиотт же утверждал, что расширенная волна всегда 5я. Однако, со временем таковой стали считать и 3ю. В общем, это спор бесполезный, главное, как все это использовать.
А вот и обратный пример, для нисходящего тренда:
Эллиотт описывал 21 коррекционный паттерн типа ABC. Пока вы не успели схватиться за голову, успокоим - их запоминать вообще не нужно, поскольку все они донельзя примитивны и состоят всего из трех моделей.
Как видите, это весьма наклонное падение цены против основного тренда. При этом волна b, как правило, короче всех. Такие волны в коррекции встречаются 2-3 раза. Как и все другие волны, каждую волну в зиг-заге можно разложить, в свою очередь, на 5-волновую структуру.
Это коррекционные волны, что идут в боковом канале. При этом длина волн, как правило, идентична, хотя волна B порой будет длиннее, нежели A.
Прекрасно знакомая ситуация, ведь мы уже изучили.
Треугольник - это коррекционный паттерн между линиями тренда, состоящий из 5 волн, что идут против тренда в наклонном боковом канале.
Все волны Эллиотта - это фракталы, внутри каждой волны скрываются другие волны. Да и вы и сами это знаете по уроку . Стоит перейти на младшие таймфреймы, и любой тренд сразу разбивается на множество микротрендиков.
Как видим, волны 1, 3 и 5 состоят из маленьких 5-волновых структур, равно как волны 2 и 4 включают в себя 3-волновые коррекционные структуры.
Любая старшая волна включает в себя младшие, это основная суть теории. Как разобраться в этом нереальном количестве волн?
Просто разделить их по типам:
Все эти волны вложены одна в другую. Главный цикл включает в себя суперциклы, те - циклы, те - первичные уровни, те - промежуточные уровни и так далее, вплоть до сверхмаленького уровня.
Чтобы не запутаться в этом количестве разнообразных волн, они отмечаются разными цифрами. Есть несколько вариантов этих маркировок, далее вариант Пректера, как один из наиболее популярных.
Вот так все это безобразие выглядит, если основные волны нанести на график.
Для тренда вверх:
Для тренда вниз:
Сразу видна фрактальная структура и то, в каких волнах находится каждая волна. Любая импульсная большая волна разделяется на 5 маленьких волн, а коррекционная волна - на три маленьких коррекционных волны. Вечная матрешка.
Хотя все это непосвященному человеку кажется дикой кашей, есть лишь три правила, которые должны соблюдаться. Они относятся только к 5-волновой структуре. Коррекции же можно интерпретировать куда более вольно.
Вот эти правила:
Если волна 2 ушла ниже, чем волна 1 в восходящем тренде, значит волны нужно считать заново. А вот волна 3 может быть самой длинной из всех, главное - чтобы не была самой короткой.
Волны Эллиотта - тема крайне сложная и комплексная. Взаимодействие волн из разных циклов изучают месяцами и годами (нет, я не шучу). Вот как может выглядеть практическое применение таких волн.
Первый практический совет помогает выявить завершение волны 5. Хотя она может быть дольше, нежели волна 3, а она, в свою очередь, может быть длиннее волны 1. Как правило, волна 5 рисуется сразу по завершению волны 4. В сильном нисходящем тренде длина волны 1 (измеряется в процентах) рисуется от нижнего значения волны 4. Аналогично и для 5-волнового нисходящего тренда, где волна один используется для дорисовки волны 4, что позволяет определить волну 5.
Второй совет помогает определить коррекцию волны 4. После того, как волна 2 резко снизилась, коррекционная волна 4 ожидается плавной. Если же волна 2 сама плавная, значит волна 4, напротив, может быть резкой. Они зеркальные, помните? Как правило, волна 2 всегда идет под достаточно острым углом, демонстрируя откат на значительное расстояние от волны 1. При этом волна 4 плавно идет после длинной волны 3 и формирует основу для восстановление тренда в волне 5.
Наконец, третий совет помогает обнаружить конец коррекции волны II после волны I. Волны I и II относятся к старшему циклу, а волны 1-2-3-4-5 являются вложенными в эту одну большую волну I. Они все вложенные, ибо фрактальные, не забывайте. Когда идет коррекция волны II, чтобы обнаружить ее завершение, необходимо следить за завершением волны 4. В большом восходящем тренде, волна II может бить около нижнего уровня малой волны 4. И все наоборот для нисходящего тренда.
На живом графике и в его полной версии есть все необходимые графические инструменты для того, чтобы нарисовать эти волны.
Окей, теория, большое спасибо, что все рассказали, давайте ближе к телу. Рассмотрим 2 сценария, в которых волны Эллиотта нам бы пригодились. В первом сценарии мы видим дно рынка и движение вверх. Это движение мы отмечаем, как волну 1, откат – как волну 2.
Чтобы найти зону для входа, вспоминаем столь важные правила, о которых мы уже говорили:
Ладно, мистер Эллиотт, зря вы мне что ли мозги морочили. Давайте объединим вас с уровнями Фибоначчи. О, уровень 0.500 цене явно весьма интересен, судя по свечам.
Правило номер 2 гласит, что волна 2 не может быть ниже, чем волна 1. В форексе мы используем это правило для установки стопа, а в бинарных принимаем во внимание.
Если же волна 2 укатит ниже волны 1, счет придется начинать заново. Смотрим, что было дальше.
Замечательно, самые базовые правила Эллиотта плюс Фибоначчи позволили нам поймать превосходное восходящее движение.
Теперь мы воспользуемся коррекционными волнами, чтобы получить чутка денежек.
Мы считаем волны вниз по тренду и приходим к выводу, что коррекционные волны ABC идут в четком боковом движении, тот самый коррекционный боковик. Следовательно, по завершению волны C можно ожидать новую импульсную волну.
Да, я знаю, это сложно. Сразу хочу сказать - волны Эллиота считаются “взрослой” и непростой темой. Те, кто его освоили, порой дают действительно поразительные прогнозы.
Но, признаться, я не видел практически никого, кто бы использовал такие волны для бинарных опционов. Для форекса - изредка, для рынка акций и фьючерсов- будьте любезны. В бинарных же опционах у большинства банально не хватает терпения и технических навыков, чтобы применять подобные сложные системы. Не говоря уже о том, что в бинарных любят короткие экспирации, а Эллиотт считается инструментом долгосрочного прогнозирования.
Но это не значит, что с ними не нужно ознакомиться. Напротив: если вас интересует волновая структура рынка, то именно с волн Эллиота нужно ее изучать. И лучший способ это сделать - читать книги Роберта Пректера, нацелившись на продолжительную учебу. Месяцы опыта - минимум, что здесь требуется. В одной статье даже близко нельзя передать всех нюансов.
Это целая школа, и если вас зацепил весь метод - скучать вы не будете. Если у вас после волн дикая каша в голове - это нормально, ничего страшного. В техническом анализе полно таких методов, для освоения которых требуются люди с особым складом ума.
Так что ознакомьтесь, пролистайте книгу и идите дальше, если волны показались вам сложными/скучными/не нужными. Если заинтересовало, то книгу Пректера в зубы, заодно можно и базовую работу Эллиота прочитать, благо что она крошечная, лишь несколько десятков страниц.
Волновая теория, безусловно, интересна как таковая. Ибо волнообразная структура цены – аксиома, и волны Эллиотта дают одну из самых популярных школ для ее освоения. Однако, сложный процесс обучения многих оттолкнет, естественно. Когда вы найдете “свою” систему, сложной она вам казаться не будет. Если волны вас заинтересовали – поздравляем, вы хорошей компании. Читайте elliottwave.com, русскоязычные форумы единомышленников и да пребудет с вами Большая Волна.
На правах рукописи
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ
МИЛЛИМЕТРОВЫХ И САНТИМЕТРОВЫХ ВОЛН ФРАКТАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ПРИ МАЛЫХ УГЛАХ ПАДЕНИЯ
Специальность 01.04.03 – радиофизика
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2009
Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук
Институте радиотехники и электроники им. РАН, г. Москва
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени ».
Защита состоится «_11_» _февраля_ 2010 г. в _15_ ч. _00_ мин. на заседании диссертационного совета Д 212.156.03 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», по адресу Московская область , г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)».
Ученый секретарь диссертационного совета,
кандидат физико-математических наук
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.
Актуальность темы
При решении многих научных и практических задач дистанционного зондирования земной поверхности и радиолокации широко применяются наряду с оптическими и радиофизические методы наблюдений в сверхвысокочастотном диапазоне радиоволн – от дециметровых до миллиметровых (ММВ). Интерес к диапазону ММВ вызван целым рядом преимуществ, которые даёт его использование по сравнению с более длинноволновыми диапазонами. Это – увеличение разрешающей способности по углу, дальности и скорости при высокой помехоустойчивости к средствам радиопротиводействия, улучшение электромагнитной совместимости и скрытности работы систем, увеличение количества передаваемой информации вследствие более широкой полосы частот, высокая чувствительность процесса рассеяния к структуре и состоянию подстилающих покровов, меньшие габариты и масса аппаратуры. Заметим, что для различных радиотехнических систем отражение ММВ от земных покровов может рассматриваться или как пассивная помеха, или как источник полезной информации.
В настоящее время имеется два классических подхода к исследованию задач рассеяния на статистически неровной поверхности: метод малых возмущений (МВ) и приближение Кирхгофа (метод касательной плоскости (МКП)) . Эти методы относятся к двум предельным случаям очень мелких пологих неровностей или гладких и крупномасштабных неровностей соответственно. Естественным их обобщением является двухмасштабная модель рассеяния, т. е. совокупность мелкой ряби (расчет методом МВ) и крупных неровностей (расчет на основе МКП).
Таким образом, ранее задачи дифракции волн на статистически неровной поверхности были преимущественно ориентированы на неровности одного масштаба. Затем было осознано, что многомасштабные поверхности дают более адекватные результаты. Сейчас, опираясь на результаты работ в ИРЭ им. РАН, можно утверждать, что физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности или фрактальной сигнатуры, как параметра. Более того, учет фрактальности, значительно сближает теоретические и экспериментальные характеристики индикатрис рассеяния земных покровов в СВЧ – диапазоне.
Первые подходы к проблеме рассеяния радиоволн фрактальной поверхностью были изложены д. ф.-м. н. , начиная с 1997 г., на LII Научной сессии, посвященной Дню Радио (г. Москва), и на Региональной XXIII конференции по распространению радиоволн (г. Санкт - Петербург).
К настоящему времени большое количество работ иностранных авторов посвящено взаимодействию волн с фрактальными структурами. Фрактальная поверхность предполагает наличие неровностей множества масштабов относительно длины рассеиваемой волны. Особенности рассеяния волн фрактальной поверхностью обусловлены ее недифференцируемостью. Поэтому фрактальный фронт волны, являясь недифференцируемым, не имеет нормали. Тем самым исключаются понятия “лучевая траектория” и “эффекты геометрической оптики”. Однако хорды, соединяющие значения характерных высот неровностей на определенных расстояниях по горизонтали, все-таки имеют конечный среднеквадратичный наклон. В этом случае вводят “топотезу” фрактальной хаотической поверхности; она равна длине, на которой наклоны поверхности близки к единичным.
С учетом всех особенностей в работах западных авторов приняты на сегодня две модели рассеяния: 1) - Модель с фрактальными высотами, 2) – Модель с фрактальными наклонами неровностей. Модель № 2 однократно дифференцируема и имеет наклон, изменяющийся непрерывно от точки к точке. Эта модель приводит к геометрической оптике, или к эффектам, описываемым с помощью понятия “луча”.
Рассеяние электромагнитных волн на шероховатых поверхностях детально исследовалось, например, в . В работе показано, что дифракция на фрактальных поверхностях принципиально отличается от дифракции на традиционных случайных поверхностях, а некоторые классические статистические параметры, такие как длина корреляции и среднеквадратичное отклонение, стремятся к бесконечности. Это объясняется самоподобием фрактальной поверхности. В работе была применена частотно-ограниченная функция Вейерштрасса, на которую налагалось меньше ограничений, чем на функции, изучаемые в . Предложенная функция обладала как свойством самоподобия, так и все-таки конечным числом производных на отдельно взятом рассматриваемом пространственном диапазоне.
Несмотря на то, что существует много работ, посвященных созданию и анализу хаотических поверхностей с фрактальной структурой, лишь в немногих из них рассматриваются двумерные фрактальные поверхности. В нескольких работах описывались (см. и ссылки в ней) волнистые поверхности, имеющие фрактальные свойства только в одном измерении. Модифицированная функция Вейерштрасса часто используется для моделирования двумерной фрактальной хаотической поверхности.
Анализ литературных источников показал, что тема диссертации является, несомненно, актуальной, а исследования в данном направлении проведены исключительно иностранными авторами.
Основная цель исследования
· Численное решение задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения Θ и использовании метода Кирхгофа.
· Анализ описания фрактального рельефа недифференцируемой функцией Вейерштрасса W (x ,y ) и переход к диапазонно ограниченной функции W н(x ,y ) для практических расчетов.
· Расчёт индикатрис рассеяния g
· Составление и анализ каталога характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функции Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн λ = 2,2 мм; λ = 8,6 мм и λ = 3,0 см.
Научная новизна работы
Работа относится к одному из перспективных направлений радиофизики – исследование рассеяния радиоволн на естественных земных покровах с учётом их фрактальности. За последние 30 лет многочисленными группами исследователей в мире проанализированы неровности и рельефы естественных и искусственных поверхностей, в том числе, и земных покровов (первая работа появилась а 1978 г. . После открытия и научного обоснования фрактальности естественных покровов множество работ иностранных авторов было посвящено исключительно проблеме рассеяния волн. При этом данные о рассеянии ММВ фрактальными поверхностями отсутствуют. Таким образом, впервые проведены расчёты индикатрис рассеяния ММВ фрактальной поверхностью.
Практическая значимость работы
Практическая значимость работы связана с более точным описанием процессов рассеяния при учёте фрактальных характеристик земных покровов. Учёт фрактальности земных покровов позволяет более точно и доказательно интерпретировать экспериментальные данные по рассеянию радиоволн. Помимо чисто научных интересов, при этом имеют место и практические приложения к решению современных радиолокационных и телекоммуникационных задач, а также проблем мониторинга сред на различных пространственно – временных масштабах.
Положения, выносимые на защиту
1. Численно решены задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения Θ и использовании метода Кирхгофа.
2. Показано, что наиболее удобным профилем в радиофизическом смысле фрактального рельефа является недифференцируемая функция Вейерштрасса W (x ,y ). Так как в реальных расчётах использование недифференцируемой функции не представляется возможным, было использовано приближение W (x ,y ) диапазонно ограниченной функцией W н(x ,y ).
3. Численный расчёт соотношений между усреднённым пространственным интервалом корреляции неровностей и фрактальной размерностью поверхности.
4. Для широкого спектра различных фрактальных поверхностей численно рассчитаны индикатрисы рассеяния g (θ1, θ2) ММВ и СМВ. При значениях фрактальной размерности D , стремящейся к целочисленной, полученные значения приближаются к классическим.
5. Составлен обширный каталог разнообразных характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функций Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн λ = 2,2 мм; λ = 8,6 мм и λ = 3,0 см.
6. Фрактальная размерность D шероховатой поверхности может быть оценена при помощи рассчитанных или измеренных характеристик рассеяния.
7. Физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности D или фрактальной сигнатуры как параметра.
Апробация работы
Результаты работы были представлены на следующих конкурсах и конференциях: ежегодный конкурс молодых ученых, специалистов, аспирантов и студентов имени (Москва, ИРЭ им. РАН, 2006 и 2007 гг.); 5-я Международная научная конференция “Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент” (Казахстан, Астана, 15 – 17 июня 2006 г.); Четвертая Всероссийская конференция “Необратимые процессы в природе и технике” (Москва, МГТУ им. ,января 2007 г.); XI Международный молодежный форум “Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке” (Харьков, 10 – 12 апреля 2007 г.); XIII Международная НТК “Радиолокация, навигация, связь” (Воронеж, 17 – 19 апреля 2007 г.); XV Международная студенческая школа – семинар “Новые информационные технологии” (Крым, Судак,мая 2007 г.); Международная научная конференция “Излучение и рассеяние электромагнитных волн – ИРЭМВ-2007” (Таганрог, 25 – 30 июня 2007 г.); The Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (Edinburgh, UK,November 2007); XI Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах (Звенигород МО,мая 2008 г.); XXIX URSI General Assembly (USA, Chicago, Illinois, 7 – 16 August 2008); VII международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов», посв. 150-летию со дня рождения (Самара, 15 – 21 сентября 2008 г.); 9-я Международная НТК “Проблемы техники и технологий телекоммуникаций – ПТиТТ-2008”, посв. 100-летию со дня рождения академика и 120-летию телефонной связи в Татарстане (Россия, Республика Татарстан, Казань, 25 – 27 ноября 2008 г.); 3rd European Conf. on Antennas and Propagation EuCAP 2009 (Berlin, Germany,March 2009); XV Международная НТК “Радиолокация, навигация, связь” (Воронеж, 14 – 16 апреля 2009 г.); 2nd Int. Conf. (CHAOS’ 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (Chania, Crete, Greece, 1 - 5 June 2009).
Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью теоретических результатов с известными в литературе данными, а также согласованностью результатов численного моделирования и экспериментальных исследований с результатами теоретического анализа.
· применение фрактальных методов для решения задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями при малых углах падения Θ;
· численное получение соотношений между усреднённым пространственным интервалом корреляции неровностей и фрактальной размерностью поверхности с рельефом в виде недифференцируемой функцией Вейерштрасса;
· численный расчет индикатрис рассеяния g (θ1, θ2) на длинах волн λ = 2,2 мм; λ = 8,6 мм и λ = 3,0 см для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.
Все вошедшие в диссертационную работу результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Интерпретация основных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка. Она изложена на 110 страницах, включая 109 рисунков и библиографию из 186 наименований.
В начале диссертации приведён обширный литературный обзор по существующим теориям рассеяния на статистически шероховатых поверхностях.
В качестве традиционных математических моделей неровных поверхностей ранее раздельно применялись детерминированные и случайные функции . Развитие фрактальной геометрии даёт новое средство для систематического исследования неровных структур, так как фракталы учитывают различные пространственные масштабы и могут быть непосредственно использованы при описании и детерминированных, и случайных функций или их комбинаций.
Физика волнового взаимодействия с периодической средой или структурой хорошо описывается брэгговским условием в виде закона сохранения момента между волновыми векторами падающей и дифрагированной волны, с учётом пространственного волнового вектора структурных гармоник. Рассеивающая поверхность моделируется диапазонно ограниченной непрерывной фрактальной функцией неровностей f (x ), являющейся модифицированной функцией Вейерштрасса W (t ), свойства которой подробно исследованы в . Данная функция имеет конечный диапазон пространственных частот и проявляет свойство самоподобия в пределах конечного диапазона разрешения:
(1)
где С – ; N – число гармоник (тонов); - коэффициент масштаба неровностей (0 < < 1); K – основное пространственное волновое число; b > 1 – параметр пространственно-частотного масштабирования; - произвольная фаза.
Коэффициент контроля амплитуды
(2)
выбран так, что функция f (x ) имеет среднеквадратичное отклонение σ = 1.
Для функции (1) можно ввести несколько фрактальных размерностей, потому что она самоафинна. В общем случае фрактальная размерность функции Вейерштрасса
Для точного описания формы неровностей в используется фрактальная размерность в виде:
При D = 1 имеем гладкую периодическую кривую. С увеличением D (D ≤ 2) получаем различные хаотические кривые.
Геометрия рассеяния падающей плоской волны на одномерной неровной, идеально проводящей фрактальной вдоль оси x поверхности представлена на рис. 1. Индексы i и s относятся к падающей и рассеянной волнам с волновыми векторами k i и k s , соответственно. Одномерная квазипериодическая поверхность описывается уравнением
. (4)
Здесь параметр h контролирует среднеквадратическое значение неровностей.
Далее мы будем рассматривать подход на основе приближения Кирхгофа. В методе Кирхгофа используется крупномасштабность плавность пологость . Здесь ρ – радиус корреляции неровностей; 
– локальный радиус кривизны, – среднеквадратичное значение тангенса угла наклона неровностей (штрихи означают порядок производной). В общем случае величина D
определяет угловое распределение энергии. Энергия рассеянного поля концентрируется в зеркальном направлении при малых значениях размерности D
и диффузно распределена для больших значений D
.
Пространственные индикатрисы рассеяния, или угловые распределения характеристик рассеянного поля от фрактальных поверхностей, в настоящее время исследованы совершенно недостаточно. Известные экспериментальные и теоретические исследования с использованием различных фрактальных моделей проводились ранее и приведены в работе (см. также ссылки в ней).
Моделирование фрактальных поверхностей
При моделировании использовалась диапазонно ограниченная фрактальная функция с нулевым средним, записываемая в виде:
Коэффициент контроля амплитуды С , определяемый с помощью (2), выразим через фрактальную размерность D следующим образом:
(8)
Очевидно, что в (7) при необходимости могут быть использованы и другие периодические функции.
Коэффициент контроля амплитуды (8) выбран так, чтобы имела среднеквадратичное отклонение σ. С увеличением частоты периодические функции (7) описывают всё более тонкую структуру неровностей. Самоподобие функции демонстрируется соотношением 
, которое означает, что кривая выглядит подобной оригиналу, когда горизонтальная ось масштабируется коэффициентом b
, а вертикальная ось – коэффициентом
Взаимосвязь статистических и фрактальных параметров
Из формулы (7) следует, что профиль неровной поверхности определяется параметрами σ, D , b , K , N . Традиционными параметрами при моделировании случайной поверхности являются: σ – среднеквадратичное значение высоты неровностей; ρ – радиус их корреляции; - среднеквадратичное значение тангенса угла наклона неровностей .
Для фрактальной модели для σ = 1 значение находится через среднеквадратичное значение первой производной от функции (7). В результате:
Из формулы (9) следует, что при D = 1 или N = 1. Для типового примера
D
= 1,5 при и N
= 6 имеем 
.
Радиус корреляции ρ исследуемой модели находится с помощью коэффициента автокорреляции ρ(τ) фрактальной функции (7), который имеет вид
(10)
Из (10) следует, что коэффициент автокорреляции ρ(τ) не зависит от высоты σ неровностей. Радиус корреляции ρ определим как первый корень уравнения при увеличении τ от нуля. Радиус корреляции ρ уменьшается с ростом D . Таким образом, неровности фрактальной модели определяются фрактальной размерностью D , хотя среднеквадратичная величина их есть σ. Фрактальная поверхность может быть точно определена и легко видоизменяться при варьировании параметров K , b , N , D . Способность быстрого контроля поверхности на основе реализаций функции (7) с помощью её параметров делает такую фрактальную модель полезной при исследовании рассеяния волн земными покровами.
Индикатрисы рассеяния
Рассмотрим плоскую волну единичной амплитуды с волновым вектором ki , падающую на одномерную неровную поверхность, которая характеризуется фрактальной функцией , простирающейся от x = – L до x = L (см. рис. 1). Эффекты затенения не учитываются. В приближении Кирхгофа поле рассеяния на расстоянии от источника в плоскости записывается в виде
Для упрощения расчётов рассматривается рассеяние от идеально проводящей поверхности, когда френелевы коэффициенты отражения V становятся равными
(12)
где индексы “+” и ”–” означают поляризацию, соответственно параллельную и перпендикулярную плоскости падения.
Для гладкой идеально проводящей поверхности поле рассеяния при горизонтальной поляризации в направлении зеркального отражения () имеет вид После несложных, но громоздких выкладок, вводя индикатрису рассеяния g , получим:
(13)
Рассмотрим сначала специальный случай, когда Тогда из формулы (13) следует, что
, (14)
и не является функцией от b и φn . Учитывая аппроксимацию
(15)
при малых x (малых k σ), находим следующее приближение формулы (14):
Результат (16) показывает, что при малых k σ интенсивность рассеяния в зеркальном направлении определяется только среднеквадратичной высотой неровностей, независимо от того, фрактальная поверхность или нет. Фрактальная функция (7) является результатом суммирования N периодических синусоид. Радиоволна действует как измерительная линейка, выделяя пространственные частоты посредством брэгговских условий. В общем случае
(17)
где – волновой вектор в направлении рассеяния; – волновой вектор в направлении зеркального рассеяния; – пространственные волновые векторы структурных гармоник; – целые числа.
Для фрактальной функции (7) имеем . Таким образом, падающая волна будет взаимодействовать с различными гармониками рассеивающей структуры. Направление рассеяния каждого лепестка зависит от пространственной частоты гармоники β, а интенсивность определяется фрактальной размерностью поверхности D , которая регулирует амплитуду каждой гармоники. Высшие пространственные частоты как бы связывают угловое распределение рассеяния с большим отклонением от зеркального направления.
Рассеяние волн ограниченной фрактальной площадью
Изменение характеристик рассеяния при облучении поверхностей различных размеров представляет интерес в практических задачах радиолокации и дистанционного зондирования. Размер облучаемой площадки определяет ширину индикатрис рассеяния. Для случая рассеяния фрактальной поверхностью не существует качественного изменения, если размеры площадки больше основного пространственного периода 
Чем меньше размер площадки, тем меньше информации о неровностях будут давать характеристики рассеяния.
Для установления связи фрактальной размерности поверхности с интенсивностью боковых лепестков рассматриваются зависимости коэффициентов рассеяния от аргумента и рассчитывается наклон огибающей. Основная огибающая обусловлена конечным размером площадок и связывает основной лепесток с самым крайним боковым. Её наклон всегда почти постоянен при изменении фрактальной размерности.
Огибающая, связывающая боковые лепестки, определяется пространственными гармониками, и её наклон монотонно изменяется с изменением фрактальной размерности. Очень важно, что наклоны дифракционных пиков позволяют дистанционно измерить неровности или размерности D поверхности.
где – константа, обеспечивающая единичную нормировку; – параметр пространственно-частотного масштабирования; D – фрактальная размерность (2<D <3); K – основное пространственное волновое число; N и M – число гармоник; – произвольная фаза, распределенная равномерно в интервале .
Данная функция (18) является комбинацией случайной структуры и детерминированного периода. Она анизотропна в двух направлениях, если числа гармоник не очень велики. Она имеет производные и в то же время – самоподобна. Поверхность на ее основе имеет много масштабов, а шероховатость может изменяться в зависимости от рассматриваемого масштаба. Так как естественные поверхности не являются чисто случайными или чисто периодическими и часто анизотропны, то предложенная выше функция является хорошим приближением для описания естественных поверхностей. На рис. 2 приведены примеры диапазонно-ограниченной функции Вейерштрасса для различных масштабов. Важно отметить, что функция (18) описывает математические фракталы только при стремлении M и N к бесконечности.
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
|
Рис. 2. W (x ,y ) при (a ) - N = 2, M = 3, D = 2.01, q = 1.01; (b ) - N = 5, M = 5, D = 2.5, q = 3; (c ) - N = 10, M = 10, D = 2.99, q = 7. По осям: 1 отн. ед. = 80 см |
Такие параметры, как интервал корреляции Γ , среднеквадратичное отклонение и коэффициент пространственной автокорреляции ρ(τ) традиционно принято использовать для численного описания шероховатой поверхности. В работе продемонстрировано, как эти статистические параметры можно использовать для оценки влияния фрактальной размерности D и других параметров на шероховатость поверхности. Приведён вывод выражения для усредненного интервала корреляции :
На рис. 3 и 4 показаны зависимости от q и D соответственно.
С увеличением фрактальной размерности D поверхности усреднённый интервал корреляцииуменьшается более быстро для тех же самых изменений параметра пространственно-частотного масштабирования q . Величинамонотонно спадает с возрастанием значения D ; однако не меняется при q = 1,01. Следовательно, средний интервал корреляции чувствителен к фрактальной размерности D , за исключением случаев, когда . Эти результаты означают то, что величина неровностей фрактальной поверхности в основном управляется величиной D .
Для расчёта поля рассеяния и индикатрис рассеяния на построенных поверхностях было использовано приближение Кирхгофа. Приведён вывод выражения для индикатрисы рассеяния по усреднённой интенсивности:
. (20)
Автором создана обширная база данных различных характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функций Вейерштрасса, а также трехмерных индикатрис рассеяния и их сечений, рассчитанных для длин волн мм, мм и см при разных значениях фрактальной размерности D и изменяющейся геометрии рассеяния соответственно (рис.5).
На основе проведённых расчетов были сделаны следующие выводы. При значениях D , мало отличающихся от целочисленных, основная доля энергии рассеивается в зеркальном направлении. Боковые лепестки образуются из-за брэгговского рассеяния. С увеличением фрактальной размерности D поверхности рассеяния возрастает число боковых лепестков и их интенсивность. Угловой диапазон боковых лепестков также расширяется с увеличением D , когда высокие пространственные частоты начинают играть существенную роль. В случае малых D , классические и фрактальные методы расчета полей рассеяния, совпадают. Таким образом, фрактальная размерность D шероховатой поверхности может быть оценена из рассчитанных или измеренных характеристик поля рассеяния. На практике размеры облучаемой площадки должны быть, по крайней мере, в 2 раза больше основного периода структуры поверхности, чтобы информация о ее фрактальных параметрах содержалась в характеристиках рассеяния.
На основе функции Вейерштрасса для одномерной фрактальной рассеивающей поверхности автор рассчитал зависимости модуля рассеянного поля от фрактальной размерности поверхности D и от угла падения (рис. 6 и рис. 7). Чем больше фрактальная размерность, тем выше абсолютное значение поля рассеяния. Данное явление можно объяснить увеличивающимся вкладом вторичного рассеяния на мелких неровностях по сравнению с менее шероховатой поверхностью. При изменении угла падения поле рассеяния меняется спонтанно, что объясняется хаотической структурой рассеивающей поверхности.
Дальнейшие исследования рассеяния волн на фракталах будут продолжены в рамках расчёта частотных функций когерентности или полосы когерентности Δf c для радиолокационного фрактального канала зондирования.
В первой главе рассмотрено развитие выбранного научного направления, а также его современный уровень и проблемы, которые стоят перед фрактальной радиофизикой. Приведён обзор существующих работ по рассеянию СМВ и ММВ радиоволн на фрактальных поверхностях. Поставлены цели работы.
Вторая глава посвящена моделированию фрактальной поверхности с помощью двумерной диапазонно-ограниченной функции Вейерштрасса. В первом разделе приводится сама функция поверхности и её графические реализации, а во втором разделе устанавливается связь классических статистических параметров поверхности с фрактальными параметрами.
В третьей главе рассматривается рассеяние радиоволн миллиметрового и сантиметрового диапазонов на построенных фрактальных поверхностях. Для расчётов параметров рассеяния используется приближение Кирхгофа. В первом разделе приведена модель рассеяния и общие формулы для расчёта поля рассеяния. Во втором разделе приводится формула для усреднённого поля рассеяния. В третьем разделе описывается индикатриса рассеяния по полю. В четвёртом разделе приводятся соотношения для индикатрис рассеяния по усреднённой интенсивности. В пятом разделе обсуждается приближенная формула усредненной интенсивности поля для задачи рассеяния на фрактальном фазовом экране. В шестом разделе приведены результаты расчетов индикатрис рассеяния в СВЧ – диапазоне.
Четвёртая глава посвящена исследованию поведения поля рассеяния радиоволн на одномерных фрактальных поверхностях, а также здесь вводится понятие частотной функции когерентности.
В Заключении приведены основные результаты работы и показано их соответствие поставленным целям.
В Приложении размещены обширные примеры рассеивающих фрактальных поверхностей, индикатрисы рассеяния ММВ и СМВ.
Основные результаты работы состоят в следующем:
1. Решена численно задача рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения Θ и использовании метода Кирхгофа.
2. Исследовано описание рельефа фрактальной диапазонно ограниченной функцией Wн(x ,y ); установлена связь между классическими статистическими параметрами случайной поверхности и её фрактальной размерностью D .
3. Разработана программа и рассчитаны индикатрисы рассеяния g (θ1, θ2) ММВ и СМВ для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.
4. Составлен и проанализирован каталог характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функции Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн λ = 2,2 мм; λ = 8,6 мм и λ = 3,0 см.
5. Показано, что при значениях фрактальной размерности D , стремящейся к целочисленной, полученные значения интенсивности рассеяния приближаются к классическим результатам.
Цитируемая литература
1. Басс Ф .Г ., Фукс И .М . Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. – М.: Наука, 1972. – 424 с.
2. Рытов С .М ., Кравцов Ю .А ., Татарский В .И . Введение в статистическую радиофизику: В 2 ч. Случайные поля. – М.: Наука, 1978. – Ч. П. – 464 с.
3. Распространение и рассеяние волн в случайно – неоднородных средах. Т. 2.- М.: Мир, 198с.
4. Berry M .V . Difractals // J. Phys. A. 1979. V.12, № 6. P. 781 – 797.
5. Lin N., Lee H. P., Lim S. P., Lee K. S. Wave Scattering from Fractal Surfaces // Journal of Modern Optics. 1995. V. 42, № 1. P.
6. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп.- М.: Университетская книга, 200с.
7. Sayles R. S, Thomas T. R.; Berry M. V., Hannay J. H .// Nature. 1978 V.271, № 000; V. 273, № 000.
Публикации
Статьи в научных журналах:
1. Моделирование фрактальных недифференцируемых поверхностей и процессов рассеяния ими электромагнитных волн // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. № 5. С.
2. , Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. № 1. С. 3 – 36.
3. , Зависимость процессов рассеяния волн от статистических параметров классических и фрактальных шероховатых поверхностей // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. № 4. С. 231 – 233.
4. , Особенности рассеяния миллиметровых и сантиметровых радиоволн на поверхностях, описываемых фрактальной кусочно-дифференцируемой функцией // Динамика сложных систем. 2009. Т. 3, №1. С.25-29.
Труды конференций:
1. , Индикатрисы рассеяния электромагнитных волн фрактальной поверхностью, синтезированной на основе модификаций недифференцируемой функции Вейерштрасса // Труды Четвертой Всероссийской конф. “Необратимые процессы в природе и технике” января 2007 г.).- М.: МГТУ им. , Физический институт им. РАН, 2007. Часть I. С. 40 – 43.
2. , Синтез фрактальных поверхностей на основе приближений недифференцируемой функции Вейерштрасса и фрактальные индикатрисы рассеяния электромагнитного излучения // Тез. докл. XI Междунар. молодежного форума “Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке” (Харьков, 10 – 12 апреля 2007 г.).- Харьков: Изд. ХНУРЭ, 2007. Часть 1. С. 245 – 246.
3. , Об индикатрисах рассеяния миллиметровых и сантиметровых волн стохастической фрактальной анизотропной поверхностью // Сб. докладов XIII Междунар. НТК “Радиолокация, навигация, связь” (Воронеж, 17 – 19 апреля 2007 г.).- Воронеж: НПФ “Саквоее”, 2007. Т. III. С. 1770 – 1833.
4. On the Indicatrixes of Wave Scattering from the Random Fractal Anisotropic Surface // Proc. XIII Int. Scientific – Research Conf. “Radiolocation, Navigation, Communication” (Russia, Voronezh, 17 – 19 April 2007).- Voronezh: NPF “Sakvoee”, 2007. P. 86 – 147.
5. , Рассеяние радиоволн фрактальными поверхностями, синтезированными на основе недифференцируемых функций с различной дробной размерностью // Тез. докл. XV Междунар. студенческой школы - семинара“Новые информационные технологии” (Крым, Судак,мая 2007 г.).- М.: МИЭМ, 2007. С. 98 – 99.
6. , О статистических свойствах поля, рассеянного фрактальной шероховатой поверхностью //Труды Междунар. науч. конф. «Излучение и рассеяние электромагнитных волн – ИРЭМВ-2007» (Таганрог, 25 – 30 июня 2007 г.).- Таганрог: Изд. ТТИ ЮФУ, 2007. Т. 1. С. 435 – 440.
7. Potapov A. A., Laktyunkin A. V. Microwaves Scattering on Fractal Surfaces as a New Line of Investigations // Proc. the Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2November 2007, The EICC, Edinburgh, UK).- Edinburgh: The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007. MoPP.016. pdf. 6 pp.
8. Potapov A. A., Matveev E. N., Potapov V. A., Laktyunkin A. V. Mathematical and Physics Modelling of Fractal Antennas and fractal frequency Selective Surfaces and Volumes for the Fractal Radio Systems // Proc. the Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2November 2007, The EICC, Edinburgh, UK).- Edinburgh: The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007. ThPA.031. pdf. 6 pp.
9. , Особенности рассеяния миллиметровых и сантиметровых радиоволн на поверхностях, описываемых фрактальной кусочно-дифференцируемой функцией // Труды XI Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах (Звенигород МО,мая 2008 г.).- М.: Изд. МГУ, 2008. Ч. 3. С. 68 – 70.
10. Waves Scattering Dependence on the Statistical Parameters of Classical and Fractal Rough Surfaces // Proc. XXIX URSI General Assembly (USA, Chicago, Illinois, 7 – 16 August 2008).- Chicago: University of Illinois at Chicago, 2008. BP16.1(228). pdf. 4 pp. (http://ursi. org/Chicago08/Index%20GA08.htm).
11. , Рассеяние волн на фракталах // Тез. докл. VII междунар. НТК «Физика и технические приложения волновых процессов», посв. 150-летию со дня рождения (Самара, 15 – 21 сентября 2008 г.). – Самара: Гос. ун-т, 2008. С. 304 – 307.
12. , Зависимость модуля поля рассеяния радиоволн от параметров фрактальной поверхности // Тез. докл. 9-й Междунар. НТК “Проблемы техники и технологий телекоммуникаций – ПТиТТ-2008”, посв. 100-летию со дня рождения академика и 120-летию телефонной связи в Татарстане (Россия, Республика Татарстан, Казань, 25 – 27 ноября 2008 г.).- Казань: Изд-во КГТУ им. , 2008. С. 389 – 392.
13. Laktyunkin A. V., Potapov A. A. Radio Waves Scattering Dependence on the Statistical Parameters of Classical and Fractal Rough Surfaces // Program 3rd European Conf. on Antennas and Propagation EuCAP 2March 2009, Berlin, Germany).- Berlin: EurAAP, 2009. P. 24. (http:///conferences_en/eucap2009/ ).
14. , Частотные и энергетические характеристики радиоволн, рассеянных на фрактальных поверхностях // Сб. докладов XV Междунар. НТК “Радиолокация, навигация, связь” (Воронеж, 14 – 16 апреля 2009 г.).- Воронеж: НПФ “Саквоее”, 2009. Т. I. С. 579 – 590.
15. Laktyunkin A. V., Potapov A. A. Frequency and Spatial Features of Waves Scattering on Fractals // Book of Abstracts 2nd Int. Conf. (CHAOS’ 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and ApplicationsJune 2009, Chania, Crete, Greece).- Chania: National and Kapodistrian University, 2009. P. 40. (http://www. chaos2009.net/programabstracts. html).
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ
МИЛЛИМЕТРОВЫХ И САНТИМЕТРОВЫХ ВОЛН
ФРАКТАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ПРИ
МАЛЫХ УГЛАХ ПАДЕНИЯ
Подписано в печать _______ Формат 60 × 84.
Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № ___
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
Теория фракталов впервые была изложена французским математиком Б.Мандельбротом, который в соавторстве с Л.Хадсоном написал книгу о фрактальной революции в финансах. Метод привлек внимание исследователей и получил развитие в работах Э.Петерса и российского автора А.Алмазова. Фрактальный анализ на Форекс и товарно-сырьевых рынках нашел практическое применение. Первопроходцем стал , получивший широкую известность как успешный биржевой торговец и автор настольных книг для трейдеров.
Теоретики фрактального анализа рынка приняли за основу зависимость формирования будущих цен от их исторических изменений. Методы фрактального анализа базируются на теории фракталов и используют их свойства для прогнозирования ценообразования.
Рассматривая графики движения цен, новички обращают внимание на их хаотичное поведение. Чтобы уловить закономерности этого броуновского движения, надо вникнуть в суть понятия фрактала, который дает возможность увидеть в хаосе строгий порядок, а не беспорядочное блуждание.
Фрактал по Мандельброту является математическим понятием и представляет собой определенную геометрическую форму. При делении она образует мини-копии предыдущей формы.
Математические фракталы представляются как идеально точные образования, а в реальности существует множество отклонений и помех, которые, по мнению Мандельброта, являются действительно важными процессами (отклонениями рассматриваются упорядоченные структуры). Фракталы, с переменной размеренностью, Мандельброт назвал мультифракталами (пример Форекса – изменение динамики валютных пар). Именно самоподобие и размеренность характеризуют фрактал. По размеренности можно определить к какому временному промежутку принадлежит график. Независимо от исследуемых временных периодов, каждый элемент фрактала развивается по принципу подобных моделей.
Применение фрактального анализа в стратегии трейдера даст ряд преимуществ:
Фрактальный анализ Петерса рассматривает модели поведения для инвестиционных стратегий – фрактальные ряды, рынок капиталов, хаос шумов. Изучение работы Петерса придется по вкусу любителям математики – для остальных же, освоение теории Петерса будет труднодоступным занятием.
Фрактальный анализ Алмазова построен на практическом опыте автора, который с 2001 г.ода активно работает на бирже. В книге для начинающих трейдеров («Фрактальная теория»), Алмазов в доступной форме дает представление о сложных математических определениях (непериодический цикл, аттрактор, размерность и др.) Для определения значений цен и выявления графических моделей, предложена функция Вейерштрасса-Мандельброта.
Фрактальный анализ Рындыча. Профессиональный трейдер и знаток фрактального анализа валютных пар А.Рындыч, разработал множество стратегий для использования фрактальной теории на рынке Форекс. Фрактальная теория в трактовке Рындыча основывается на постулате о том, что нахождение фракталов на ценовом графике сводится к поиску разворотных углов, определяющих места разворота рынка. Фрактал здесь принимается как угол отражения, где цена начинает двигаться в противоположном направлении.
Фракталы и волны неразрывно связанные понятия на биржевом рынке. Волновая теория Эллиотта говорит о том, что рынок работает повторяющимися циклами. Умение найти подобные формации в ценах даст возможность спрогнозировать дальнейшее их развитие.
Фактически волны Эллиотта представляют собой фракталы и также могут быть разбиты на мелкие подобные подволны. С помощью фракталов Эллиотт разложил тренд на понятные составляющие части. Изучение фрактального анализа невозможно без понимания волновой теории Эллиотта, который применил теорию фракталов для анализа финансовых рынков.
Подобные последовательности, которые и являют собой временной ряд, встречаются в различных сферах жизнедеятельности (данные прикладных наук, социология, геология, финансовые рынки и многое др.). Влияния временных рядов на исторические изменения интересующих значений, привлекло внимание приверженцев фрактального анализа рынков, т.к. помогает с большей эффективностью познать фрактальную теорию. Прогнозирование и анализ структуры временных рядов относится к сфере сложных математических расчетов (методы определения и анализа устойчивых трендов, оценка параметров, моделей, корректировки сглаживанием и др. тонкости).
Многочисленные исследования поведения временного ряда подтверждают их определенную степень предсказуемости – именно на этой закономерности настаивает в своих работах Эллиотт. Более поздняя теория динамического хаоса утверждает, что ряды только имеют вид случайных и вполне могут давать прогноз ценообразования в краткосрочной перспективе, причем, чем выше уровень математического анализа закономерностей, тем точнее прогноз и выше размер возможной прибыли.
Ученые, занимающиеся исследованиями влияния размера фрактальности в экономике – в частности, фрактальная размерность тесно связана с реакцией рынка на инвестиционный климат, определяют числовой ряд как степень организованности, которая характеризует интересующий объект изучения. Используя методику R\S-анализа (показатель Херста (Н), индекс размерности), интерпретируются результаты, позволяющие выявить будущие тенденции.
Фрактальная размерность по показателю Н оценивает только общие свойства числового ряда, тогда как локальная структура остается незатронутой. Для определения особенностей поведения временного ряда, в таких случаях, проводится деление числового ряда и вычисление показателя Н различными математическими способами. Общие закономерности определяются путем усреднения полученных данных и применимы ко всему временному интервалу.
Обработка данных способом математических расчетов реализована в программе Fractan 4.4, авторства В.Сычева. Корректность работы программы подтверждается идентичностью расчетов, полученных ручным R\S-анализом и программным методом.
Программа Fractan работает под Виндовс 95\98\NT,МЕ занимает всего 460 кб и позволяет обрабатывать различные временные ряды в интервалах данных от 512 до 16384. При помощи программы можно вычислять показатель Херста, строить генератор В.Д.Поля, работать с функцией Вейерштрасса-Мандельброта, получать отображения Хенона, Лоренца, Ресслера, сохранять графики и использовать многие другие исследования. Скачать программу Fractan 4.4 можно бесплатно на сайте производителя impb. psn. ru.
Эффективность фрактального анализа зависит от умения правильно интерпретировать его сигналы в комбинации с другими индикаторами рынка (волны Эллиотта, уровни Фибоначчи).
Фрактальный анализ, книги о котором представлены рядом авторов: А. Алмазовым, Б.Мандельбротом, Б.Вильямсом и Э.Петерсом позволяет вникнуть в основы движения валютного рынка и остальных хаотичных процессов, трудно поддающихся точному анализу.
Подобно тому как колебания являются одним из наиболее характерных и «вездесущих» процессов, встречающихся в природе при анализе движения отдельных тел или частиц, так волновые процессы берут на себя роль типичных явлений, когда мы имеем дело со средами. Задание состояния частицы может быть произведено с помощью некоторого конечномерного вектора
в фазовом пространстве. Состояние среды уже нельзя задать таким простым способом, и следует вводить некоторое количество полей
заданных в каждой точке пространства в момент времени Это обстоятельство порождает огромное разнообразие новых явлений. В этой главе мы рассмотрим лишь некоторые особенности в основном нелинейных периодических волн. Наша основная цель будет заключаться в выделении специфически нелинейных черт волновых процессов, обладающих той или иной степенью универсальности.
Задачи о возникновении и эволюции волн достаточно многочисленны и разнородны. Постараемся выделить наиболее характерные и удобные примеры, чтобы показать особенности нелинейной волновой динамики.
Бегущие волны. По-видимому, трудно найти более простой пример, который содержал бы столь значительное количество специфической для нелинейных волн информации, чем движение среды из невзаимодействующих частиц. Если обозначить через плотность частиц в точке х в момент времени то факт отсутствия потерь частиц или появления новых частиц имеет тривиальное формальное выражение:
Оно может быть записано более обстоятельно, если раскрыть смысл полной производной по времени:
где скорость среды
Она является функцией точки и времени.
Если то общее решение уравнения (1.2) представляется бегущей волной
и константа имеет смысл скорости волны. Начальное условие
выбирает определенный профиль волны который движется со скоростью вдоль без искажений (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Движение волнового профиля в линейном случае
Рис. 8.2. Укручение волны
В нелинейной среде уравнения (1.1) или (1.2) имеют более сложную структуру. Простейшая из нелинейностей связана с зависимостью скорости от плотности:
Уравнение (1.2) по-прежнему легко решается, так как оно первого порядка.. Уравнения характеристик
определяют решение при начальном условии (1.5) в виде
Выражение (1.7) называется простой волной или волной Римана (см. ). Это по-прежнему бегущая волна. Однако теперь профиль выражен неявно. Кроме того, скорость движения различных точек профиля различна. Она зависит от самого значения в этой точке. Это обстоятельство приводит к расползанию волнового профиля. Остановимся на этом явлении подробнее.
Рис. 8.3. Возникновение многопотоковости и обрушение волны
Опрокидывание фронта волны. Если то возникает укручение фронта волны (рис. 8.2), о котором мы уже упоминали в § 1 гл. 2. В реальных процессах укручение заканчивается появлением многопотоковых движений и опрокидыванием волны (рис. 8.3). Существует множество примеров опрокидывания волн, из которых, быть может, самым наглядным является образование барашков на поверхности моря при сильном разгоне волн ветром.
Формальное выражение для опрокидывания нетрудно получить из формулы для решения (1.7). Продифференцируем ее по х и по
где штрих обозначает дифференцирование по аргументу и, в частности, Отсюда
Формулы (1.8) дают ответ на вопрос о том, когда происходит опрокидывание.
Очевидное условие означает, согласно (1.5), что изначальный профиль волны неоднороден. Следующее условие, нам уже знакомо
и выражает тот факт, что задача нелинейна. Теперь остается последнее условие, определяющее момент времени когда знаменатель в (1.8) обращается в нуль:
В волнах сжатия и поэтому время существует, если Это как раз имеет место для профилей волн, приведенных на рис.
В частности, рассмотрим вместо уравнения (1.1) уравнение свободного движения несжимаемой среды:
Оно также имеет решение в виде бегущей волны
где функция определяет начальный профиль скорости:
По аналогии с получением формул (1.8) теперь из (1.2) имеем Тогда формула (1.9) для времени опрокидывания дает выражение
которое нами уже было получено совсем из других соображений (см. формулу (2.1.41)).
Выражения (1.9) и (1.12) так же, как и формулы (1.8), имеют вполне наглядный смысл. Опрокидывание сопровождается обращением в бесконечность производных и точно так же Это проявляется в том, что наклон профиля становится перпендикулярным к оси х. Первая малая область профиля, которая достигает такого положения, определяется, очевидно, областью, где максимальна производная начального состояния волны.
Итак, даже в отсутствие взаимодействий мы столкнулись с новым явлением - опрокидыванием, которое присуще только нелинейным задачам.
Роль диссипации. Уравнение Бюргерса. В действительности опрокидывание волны, подобное тому, что возникает на поверхности [воды при сильном разгоне, наблюдается далеко не всегда. Это происходит [из-за существования некоторых факторов, останавливающих процесс укручения фронта волны. Одним из них является вязкость.
Если уравнение (1.10) дополнить вязким членом, то оно примет вид
называемый уравнением Бюргерса, где -коэффициент вязкости. Следующие простые соображения показывают, как вязкость останавливает опрокидывание. Из формул (1.8) видно, что опрокидывание сопровождается обращением в бесконечность производных от профиля волны. То же самое относится и к профилю волны скорости (1.11). Если и волна еще не достигла границы опрокидывания, то ее фронт очень крут. По мере приближения крутизна фронта возрастает и, следовательно, увеличивается производная В результате даже при малых вязкостях член в правой части (1.13) станет большим и сравняется с нелинейным членом Возникает конкуренция двух противоположных процессов: укручения из-за нелинейности и затухания из-за вязкости. Как следствие конкуренции может возникнуть стационарное движение. Посмотрим теперь, как описанный процесс проявляется в формальном решении уравнения (1.13).
Достопримечательностью уравнения Бюргерса является существование точного решения, построенного Хопфом и Коулом . Сделаем замену переменных:
Тогда для получается уравнение диффузии (или теплопроводности):
Примем начальное условие при
Условие (1.16) означает для переменной следующее:
Мы будем также предполагать, что начальный профиль удовлетворяет условию
Теперь легко записать общее решение уравнения Бюргерса, так как известно общее решение уравнения теплопроводности:
Обозначим
Отсюда после подстановки (1.19) и (1.17) в (1.14) получаем окончательно
Выражение (1.20) позволяет получать произвольные решения уравнения Бюргерса, соответствующие различным начальным профилям волн, их взаимодействию и т. д. (см. ). Мы здесь остановимся на выяснении асимптотического вида решения (1.20) для больших при .
Обратим внимание на то, что уравнение (1.13) можно записать в дивергентной форме:
Поскольку предполагается, что и то интегрирование выражения (1.21) по от до дает
т. е. величина
Инвариант движения определяет асимптотическую форму профиля решения (1.20). Для того чтобы получить этот результат, следует провести несложные оценки.
Рассмотрим случай достаточно малых Это автоматически означает выход решения на стационарный профиль через большое время, что следует из структуры уравнения Бюргерса. Поэтому предел означает При малых интегралы в (1.20) можно вычислить методом перевала.. Точка перевала определяется из уравнения
Теперь для получается совсем простое выражение
так как экспоненты и предэкспоненты в (1.20) сократились. При отличные от нуля значения получаются только при достаточно больших значениях х.
Рис. 8.4. Асимптотическое решение уравнения Бюргерса в виде треугольной волны: -при -при конечных значениях
Поэтому практически во всей области, где профиль принимает ненулевые значения, имеет место асимптотическая форма решения в котором связаны согласно (1.21) соотношением
Это показывает, что мы получили простую волну, имеющую линейный профиль (1.22). Ее фронт стремится к укручению, однако оно не достигается из-за вязкости.
Нам остается определить границу решения (1.23), так как в подобной форме оно не приводит к конечному значению интеграла (1.22). Поэтому очевидно, что при больших некоторого должно быть Для определения величины воспользуемся формулой (1.22), подставив в нее
Значение интеграла на нижнем пределе не существенно, так как очень велико:
Отсюда видно, что
Полученное решение приведено на рис. 8.4. При конечных значениях вяз» кости имеется переходной слой с шириной, пропорциональной
Формулы (1.24), (1.25) показывают, что асимптотический профиль волны определяется только значением момента и не зависит при от формы начального профиля
Решение уравнения Бюргерса, в котором опрокидывание не происходит, является примером образования ударной волны. Действительно, в ударной волне могут существовать скачки плотности и скорости, нормальной к фронту волны . Это и происходит в данном случае.
Ни один атом Вселенной не избегнет ощущений высшей разумной жизни. (Константин Циолковский)
Одним из самых важных принципов в Мироздании является фрактальность, в которой Мироздание повторяет свои процессы на различных уровнях, используя специфические модели и шаблоны. Возьмем, например, открытую систему Земля. У неё, как и человека, тоже есть кровь - вода, есть легкие - деревья, и есть вены -реки. Роль её печени играют камни и песок, через который фильтруются макро загрязнения, и круговорот воды в природе, который отделяет молекулы воды от микро мусора. Сама же Земля является носителем огромного количества маленьких открытых систем, называемых нами растениями, животными, насекомыми, рыбами и человеками, которые постоянно взаимодействуют между собой.
Сами человеки также организованы в системы - семьи, роды, нации, которые управляются сверх-системами (эгрегорами по религиозным, политическим, экономическим и т.д. принципам), и образуют дальнейшие иерархические уровни нашей цивилизации, на каждом из которых есть свои правила и механизмы взаимодействия.
Земное сознание является экспериментальным, также как и наши тела, души и многие виды животных. Большинство этих животных было занесено на землю различными архитекторами, а населяющие их души пришли с абсолютно разных концов гиперпространственных горизонтов для получения богатого земного опыта. Таких экспериментальных платформ как Земля существует не мало, но каждая из них уникальна, на каждой формируется свой особенный тип сознания.
Роль человека на земле, как и во многих других реальностях, заключается в том, чтобы развивать свой потенциал, расширяться, понижать , усложняя свой . Этим заняты практически все системы, обладающими потенциалом развития - от амеб до метавселенных. Все фрактально и все подобно.
На примере алгоритмов фракталы выглядят так:
3. Прецессия:
Возможно ли, что именно таким образом солнечные системы и галактики удерживаются вместе, а не разлетаются слишком быстро?
Более чем!
А если вспомнить, что и сами атомы обладают спином (кручением), то можно частично понять почему и они не разлетаются (в совокупности со стоячими волнами).
4. данный пример уже , но все-таки стоит его привести еще раз:
5. Также не забываем про феррофлюиды. Магнитные волны выстаивают четкие равномерные паттерны из частиц металла, растворенных в воде или масле:
Ничего не напоминает? А так:
Кстати, такой эксперимент можно поставить дома с использованием магнита и обычных чернил для принтера:
А какие фрактальные подобия в Творении знаете вы?)
