В этой статье мы начнем изучать рациональные числа . Здесь мы дадим определения рациональных чисел, дадим необходимые пояснения и приведем примеры рациональных чисел. После этого остановимся на том, как определить, является ли данное число рациональным или нет.
Навигация по странице.
В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа , подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа , противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.
Начнем с определения рациональных чисел , которое воспринимается наиболее естественно.
Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:
Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.
Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел . Числа 4 , 903 , 100 321 – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9 , 99/3 , - это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа .
Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.
Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.
Определение.
Рациональными числами называют числа, которые можно записать в виде дроби z/n , где z – целое число, а n – натуральное число.
Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления , тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и . Таким образом, , что и является доказательством.
Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Числа −5 , 0 , 3 , и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.
Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.
Определение.
Рациональные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.
Например, числа 5 , 0 , −13 , представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 и −7,(18) .
Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:
В предыдущем пункте мы выяснили, что любое натуральное число, любое целое число, любая обыкновенная дробь, любое смешанное число, любая конечная десятичная дробь, а также любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Это знание нам позволяет «узнавать» рациональные числа из множества написанных чисел.
Но как быть, если число задано в виде некоторого , или как , и т.п., как ответить на вопрос, является ли данное число рациональным? Во многих случаях ответить на него очень сложно. Укажем некоторые направления ходу мысли.
Если число задано в виде числового выражения, которое содержит лишь рациональные числа и знаки арифметических действий (+, −, · и:), то значение этого выражения представляет собой рациональное число. Это следует из того, как определены действия с рациональными числами . Например, выполнив все действия в выражении , мы получаем рациональное число 18 .
Иногда, после упрощения выражений и более сложного вида, появляется возможность определить, рационально ли заданное число.
Пойдем дальше. Число 2 является рациональным числом, так как любое натуральное число является рациональным. А как насчет числа ? Является ли оно рациональным? Оказывается, что нет, - не является рациональным числом, это иррациональное число (доказательство этого факта методом от противного приведено в учебнике по алгебре за 8 класс, указанном ниже в списке литературы). Также доказано, что квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в тех случаях, когда под корнем находится число, являющееся полным квадратом некоторого натурального числа. Например, и - рациональные числа, так как 81=9 2 и 1 024=32 2 , а числа и не являются рациональными, так как числа 7 и 199 не являются полными квадратами натуральных чисел.
А число рационально или нет? В данном случае несложно заметить, что , следовательно, данное число – рациональное. А является ли число рациональным? Доказано, что корень k-ой степени из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под знаком корня является k-ой степенью некоторого целого числа. Поэтому не является рациональным числом, так как не существует целого числа, пятая степень которого равна 121 .
Метод от противного позволяет доказывать, что логарифмы некоторых чисел по некоторым основаниям не являются рациональными числами. Для примера докажем, что - не рациональное число.
Предположим противное, то есть, допустим, что - рациональное число и его можно записать в виде обыкновенной дроби m/n . Тогда и дают следующие равенства: . Последнее равенство невозможно, так как в левой его части находится нечетное число 5 n , а в правой части – четное число 2 m . Следовательно, наше предположение неверно, таким образом, не является рациональным числом.
В заключение стоит особо отметить, что при выяснении рациональности или иррациональности чисел следует воздержаться от скоропостижных выводов.
Например, не стоит сразу утверждать, что произведение иррациональных чисел π и e является иррациональным числом, это «как бы очевидно», но не доказано. При этом возникает вопрос: «А с чего бы произведению быть рациональным числом»? А почему бы и нет, ведь можно привести пример иррациональных чисел, произведение которых дает рациональное число: .
Также неизвестно, являются ли числа и многие другие числа рациональными или не являются таковыми. Например, существуют иррациональные числа, иррациональная степень которых является рациональным числом. Для иллюстрации приведем степень вида , основание данной степени и показатель степени не являются рациональными числами, но , а 3 – рациональное число.
Список литературы.
Характер взаимоотношений природы и человека изменялся с течением истории. Впервые о рациональном природопользовании начали всерьез задумываться где-то в середине ХХ века. Именно в это время антропогенное давление на окружающую среду стало максимальным. Что такое рациональное природопользование и каковы его принципы - об этом пойдет речь в данной статье.
Данный термин имеет две трактовки. Согласно первой, под природопользованием понимают комплекс мероприятий по использованию природных ресурсов с целью удовлетворения экономических, промышленных, лечебно-оздоровительных или иных потребностей человека.
Вторая трактовка предусматривает определение понятия "природопользование" как научной дисциплины. То есть это, по сути, теоретическая наука, изучающая и оценивающая процесс использования человеком природных ресурсов, а также разрабатывающая пути его оптимизации.
Сегодня принято выделять рациональное и нерациональное природопользование. О них мы и будем говорить далее, делая акцент на первом виде. Для полного понимания того, что такое рациональное природопользование, следует также разобраться в том, какие бывают виды природных ресурсов.
Под природными ресурсами понимают те объекты (или явления), не созданные человеком, которые используются им для удовлетворения целого ряда своих потребностей. К ним относятся полезные ископаемые, грунты, флора и фауна, поверхностные воды и т. д.
Все природные ресурсы по характеру их использования человеком можно поделить на следующие классы:
Их также делят на две большие группы:
Последние, в свою очередь, подразделяются на возобновляемые и невозобновляемые природные ресурсы.
Стоит отметить, что относить тот или иной ресурс к определенной группе можно лишь условно. Ведь даже наше Солнце не вечно и может в любой момент времени "погаснуть".
Рациональное природопользование предусматривает охрану и грамотное использование всех видов природных ресурсов и компонентов.
Взаимоотношения в системе "человек - природа" не всегда были одинаковыми и изменялись с течением времени. Можно выделить пять периодов (или вех), во время которых произошли самые важные изменения в этой системе отношений:
Что же означает каждое из этих понятий и в чем их принципиальные различия? Стоит отметить, что рациональное и нерациональное природопользование - это два антипода, термины. Они полностью противоречат друг другу.
Рациональное природопользование подразумевает такой способ использования природной среды, при котором взаимодействие в системе "человек - природа" остается максимально гармонизированным. Основными признаками такого вида отношений являются:
Рациональное природопользование, примеры которого мы приведем ниже, более характерно для экономически развитых стран мира.
В свою очередь, под нерациональным природопользованием понимают неразумное, несистематическое и хищническое использование той части природно-ресурсного потенциала, которая является наиболее доступной. Такое поведение приводит к быстрому истощению природных ресурсов.
Основными признаками такого вида природопользования являются:
Нерациональное природопользование наиболее характерно для стран Азии, Латинской Америки и для некоторых государств Восточной Европы.
Сначала рассмотрим несколько мероприятий, которыми можно описать рациональное природопользование. Примеры такой деятельности можно привести следующие:
В свою очередь, можно привести и несколько самых ярких примеров нерационального отношения человека к природе. Например:
На протяжении многих десятков лет ученые и экологи разрабатывали те принципы и условия, которые смогли бы помочь оптимизировать взаимоотношения человека и природы. Основы рационального природопользования кроются, прежде всего, в эффективном хозяйствовании, которое не провоцирует глубоких и серьезных изменений в окружающей среде. При этом природные ресурсы используются максимально полно и систематично.
Можно выделить основные принципы рационального природопользования:
Существуют ли способы реализации перечисленных принципов? Можно ли решить все проблемы рационального природопользования на практике?
Пути и способы реализации принципов природопользования на самом деле существуют. Их можно свести к следующим тезисам:
Эти два понятия тесно связаны друг с другом. Не зря же у них и корень один - "ойкос", что в переводе означает "дом, жилище". Однако многие до сих пор не могут осознать, что природа - это наш общий и единственный дом.
Понятия "экология" и "рациональное природопользование" практически тождественны. Наиболее доходчиво их могут раскрыть так называемые парадигмы экологического природопользования. Всего их три:
Рациональное природопользование и охрана природы - понятия, которые стали необычайно важными на пороге нового тысячелетия. Человечество впервые всерьез задумалось о последствиях своей деятельности и о будущем нашей планеты. И очень важно, чтобы теоретические принципы и декларации не расходились с реальными делами. Для этого нужно, чтобы каждый житель Земли осознавал всю важность правильного и рационального экологического поведения.
«Итоговая аттестация 9 классов» - Экзаменуемый. Информация, внесенная в бланки ГИА. Дополнительный бланк. Знак. Оформление ответов. Бланк ответов. Информация для заполнения. Задания с развёрнутым ответом. Математика. Пометки. Верхняя часть бланка ответов. Государственная (итоговая) аттестация учащихся 9 классов. Регистрационная информация.
«Экзамены 9 класс» - Поступить в учреждение СПО. п.2.1. Выпускники IX классов сдают 4 экзамена: Какие экзамены сдавать? Предметы по выбору учащиеся могут сдавать в 2-х формах. Поступить в учреждение НПО. Продолжить обучение в другой школе, где есть необходимый профиль. В традиционной школьным экзаменационным комиссиям. Продолжить обучение в школе в профильном или универсальном классе.
«Новая форма ГИА» - Сопоставление результатов экзаменов в новой форме по АЛГЕБРЕ Челябинской области и ФИПИ. О результатах государственной (итоговой) аттестации выпускников 9-х классов в 2009 году в новой форме по физике и перспективах 2010 года. Результаты экзаменов в новой форме по алгебре (в %). Участники эксперимента по апробации новой формы государственной (итоговой) аттестации выпускников 9-х классов.
«Новая форма ГИА 2013» - Сайты и порталы о Г(И)А. Формы проведения ГИА девятиклассников. Чем и от чего его лечить. Организаторы ГИА-9. Предметы ГИА-9. Образец КИМ. Обсудите вопрос о пользе и вреде шпаргалок. Введение. Короткие перерывы. Участники ГИА-9. Оценивание ГИА-9. Контрольно-измерительные материалы ГИА-9. Государственная (итоговая) аттестация в 9 классах в новой форме.
«ГИА в 2014 году» - Сроки и продолжительность проведения ГИА. Формы проведения ГИА. Минимальные баллы. Средства связи. Обязанности образовательных организаций. Проведение государственной итоговой аттестации в 2014 году. Нормативные документы. Форма для направления в ГЭК замечаний. Оснащение ППЭ. Роспись. Аннулирование результатов.
«Государственная итоговая аттестация 9 класс» - Ппои. Подготовка аналитических данных. Шифрование. Инструктивные материалы. Формирование базы данных. Рэк. Анализ результатов. Обработка результатов. Выдача результатов. Муниципальные экзаменационные комиссии. Региональный центр оценки качества (обработки информации). Подведомственное учреждение, уполномоченное обеспечить организационно-технологическое сопровождение ГИА.
С раннего детства родители возили меня отдыхать к небольшому родниковому озеру. Я любила это озеро, его чистую и прохладную воду. Но, внезапно для нас, оно начало пропадать и почти исчезло. Оказалось, что местный фермер стал орошать свою землю водой из этого озера, и его нерациональная деятельность осушила водоем буквально за три года, оставив всю округу без воды, а нас - без озера.
Использование природных богатств влечет за собой определенные последствия, и мне бы хотелось, чтобы эти действия были направлены на созидание, а не на разрушение. С развитием техники люди все активнее пользуются природными ресурсами, используют их для своих личных потребностей и обогащения. Причем, такая деятельность может быть как рациональной, так и нерациональной. Первая не вредит природе, не изменяет ее вид и свойства, тогда как вторая приводит к истощению месторождений и загрязнению атмосферы.
Рациональное использование ресурсов подразумевает их максимально возможное разумное потребление. Для промышленности это может быть использование замкнутого цикла воды, использование альтернативных видов энергии, переработка вторсырья.
Таким примером также есть создание парков и заповедников, использование новых технологий, которые не загрязняют воздух, почву и воду.
Неразумные и халатные примеры природопользования можно наблюдать на каждом шагу, и все мы уже расплачиваемся за такое небрежное отношение к природе. Вот некоторые из таких примеров:
В своей жизни я довольно редко наблюдаю рациональное использование ресурсов, начиная от отдельно взятых людей до масштабов корпораций и стран. А хотелось бы, чтобы люди больше ценили нашу планету и разумно использовали ее дары.
Международные договоры, соглашения и конвенции в области природопользования и охраны окружающей среды, в которых участвует Россия, традиционно являются источниками национального экологического права. Более того, это - особый источник права. Его нормы обладают приоритетом перед нормами, предусмотренными национальным законодательством. В каждом законе РФ содержится формула: если международным договором РФ установлены иные правила, чем предусмотренные законом, то применяются правила международного договора. Придание договору особой роли вызвано потребностью поддержания и обеспечения мирового правопорядка в сфере взаимодействия общества и природы. Россия является участницей более 70 многосторонних международных договоров, соглашений и конвенций.
г) прекращение обработки истощенных земель.
