ГРАФОВ ТЕОРИЯ в химии, область конечной математики, изучающая дискретные структуры, называют графами; применяется для решения различных теоретич. и прикладных задач.
Некоторые основные понятия. Граф-совокупность точек (вершин) и совокупность пар этих точек (не обязательно всех), соединенных линиями (рис. 1,л). Если на графе линии ориентированы (т.е. стрелками показано направление связи вершин), они называют дугами, или ветвями; если неориентированы,-ребрами. Соотв. граф, содержащий только дуги, называют ориентированным, или орграфом; только ребра-неориентированным; дуги и ребра-смешанным. Граф, имеющий кратные ребра, называют мультиграфом; граф, содержащий только ребра, принадлежащие двум его непересекающимся подмножествам (частям),-двудольным; дуги (ребра) и (или) вершины, к-рым отвечают определенные веса или числовые значения к.-л. параметров,-взвешенным. Путь в графе-чередующаяся последовательность вершин и дуг, в которой ни одна из вершин не повторяется (например, a, b на рис. 1,a); контур-замкнутый путь, в котором первая и последняя вершины совпадают (например,f, h); петля-дуга (ребро), которая начинается и кончается в одной и той же вершине. Цепь графа-последовательность ребер, в которой ни одна из вершин не повторяется (например, с, d, e); цикл-замкнутая цепь, в которой ее начальная и конечная вершины совпадают. Граф называют связным, если любая пара его вершин соединена цепью или путем; в противоположном случае граф называют несвязным.
Дерево-связный неориентированный граф, не содержащий циклов или контуров (рис. 1,б). Остовпый подграф некоторого графа-его подмножество, содержащее все вершины и лишь определенные ребра. Остовное дерево некоторого графа-его остовный подграф, представляющий собой дерево. Графы называют изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между совокупностями их вершин и ребер (дуг).
Для решения задач ГРАФОВ ТЕОРИЯ т. и ее приложений графы представляют с помощью матриц (смежности, инцидентности, двустрочных и др.), а также спец. числовых характеристик. Например, в матрице смежности (рис. 1,в) строки и столбцы отвечают номерам вершин графа, а ее элементы принимают значения 0 и 1 (соответственно отсутствие и наличие дуги между данной парой вершин); в матрице инцидентности (рис. 1,г)строки отвечают номерам вершин, столбцы-номерам дуг, а элементы принимают значения 0, + 1 и - 1 (соответственно отсутствие, наличие дуги, входящей в вершину и выходящей из нее). наиболее употребительные числовые характеристики: число вершин (т), число дуг или ребер (n), цикломатич. число, или ранг графа (п - т + k, где k-число связных подграфов в несвязном графе; например, для графа на рис. 1,б ранг будет: 10-6+ 1 =5).
Применение ГРАФОВ ТЕОРИЯ т. базируется на построении и анализе различные классов химических
и химико-технологических графов, которые называют также топология, моделями,
т.е. моделями, учитывающими только характер связи вершин. Дуги (ребра)
и вершины этих графов отображают химический и химический-технол. понятия, явления,
процессы или объекты и соответственно качеств. и количественное взаимосвязи
либо определенные отношения между ними.
Рис. 1. Иллюстрация некоторых основных понятий: а-смешанный граф; б-осговное дерево (сплошные дуги a, h, d, f, h) и некоторый подграф (пунктирные дуги с, с, д, k, I) орграфа; в, г-матрицы соответственно смежности и инцидентности орграфа.
Теоретические задачи. Химическая графы дают возможность прогнозировать химический превращения, пояснять сущность и систематизировать некоторые основные понятия химии: структуру, конфигурацию, конформации, квантовомеханические и статистико-механические взаимодействия молекул, изомерию и др. К химический графам относятся молекулярные, двудольные и сигнальные графы кинетическая уравений реакций.
Молекулярные графы, применяемые в стереохимии и структурной топологии,
химии кластеров, полимеров и др., представляют собой неориентированные
графы, отображающие строение молекул (рис. 2). Вершины и ребра этих графов
отвечают соответственно атомам и химический связям между ними.
Рис. 2. Молекулярные графы и деревья: а, б - мультиграфы соответственно этилена и формальдегида; в-мол. изомеров пентана (деревья 4, 5 изоморфны дереву 2).
В стереохимии органическое веществ наиболее часто используют мол. деревья -остовные деревья мол. графов, которые содержат только все вершины, соответствующие атомам С (рис. 2, а и б). Составление наборов мол. деревьев и установление их изоморфизма позволяют определять мол. структуры и находить полное число изомеров алканов, алкенов и алкинов (рис. 2, в).
Мол. графы дают возможность сводить задачи, связанные с кодированием, номенклатурой и структурными особенностями (разветвлепность, цикличность и т.п.) молекул различные соединение, к анализу и сопоставлению чисто мат. признаков и свойств мол. графов и их деревьев, а также соответствующих им матриц. Для выявления количественное корреляций между строением молекул и физических-химический (в т.ч. фармакологическими) свойствами соединение разработано более 20 так называемой топологич. индексов молекул (Винера, Балабана, Хосойи, Плата, Рандича и др.), которые определяют с помощью матриц и числовых характеристик мол. деревьев. Например, индекс Винера W = (m 3 + m)/6, где т-число вершин, отвечающих атомам С, коррелирует с мол. объемами и рефракциями, энтальпиями образования, вязкостью, поверхностным натяжением, хроматографич. константами соединение, октановыми числами углеводородов и даже физиол. активностью лек. препаратов.
Важными параметрами мол. графов, используемыми для определения таутомерных
форм данного вещества и их реакционной способности, а также при классификации
аминокислот, нуклеиновых кислот, углеводов и др. сложных природные соединений,
являются спедняя
и полная (Н)информац. емкости. Параметр
вычисляется по формуле энтропии информации Шеннона: , где p t -вероятность
принадлежности вершин
m графа i-тому виду, или классу эквивалентности, k; i =,
Параметр
(см. также Энтропия). Изучение мол. структур типа неорганическое кластеров
или лент Мёбиуса сводится к установлению изоморфизма соответствующих мол.
графов путем их укладки (вложения) в сложные многогранники (например, полиэдры
в случае кластеров) или спец. многомерные поверхности (например, римановые). Анализ
мол. графов полимеров, вершины которых отвечают мономерным звеньям, а ребра-химический
связям между ними, позволяет объяснить, например, эффекты исключенного объема,
приводящие к качеств. изменениям прогнозируемых свойств полимеров.
Рис. 3. Графы реакций: а-двудольный; б-сигнальный уравений кинетики; r 1 , г 2 -реакции; а 1 -а 6 -реагенты; k-константы скорости р-цнй; s-комплексния переменная преобразования Лапласа.
С применением ГРАФОВ ТЕОРИЯ т. и принципов искусственного интеллекта разработано
программное обеспечение информационно-поисковых систем в химии, а также
автоматизиров. систем идентификации мол. структур и рационального планирования
органич. синтеза. Для практическое реализации на ЭВМ операций выбора рациональных
путей химический превращений на основе ретросинтетич. (см. Ретросинтетический
анализ)и синтонного принципов используют многоуровневые разветвленные
графы поиска вариантов решений, вершины которых соответствуют мол. графам
реагентов и продуктов, а дуги изображают превращения веществ.
Рис. 4. Одноконтурная химико-технологическая система и соответствующие графы: а-структурная схема; б, в-материальные потоковые графы соответственно по общим массовым расходам и расходу компонента А; г- тепловой потоковый граф; д-фрагмент системы уравений (f 1 - f 6) материального баланса, полученной из анализа графов на рис. 4, б и в; е-двудольный информационный орграф; ж-информационный граф, I-смеситель; II-реактор; III-ректификационная колонна; IV-холодильник; I 1 -I 8 -технол. потоки; q-массовый расход; H-энтальпия потока; i. s и i*, s*- соответственно реальные и фиктивные источники и стоки материальных и тепловых потоков; с-концентрация реагента; V-объем реактора.
Матричные представления мол. графов различные соединений эквивалентны (после преобразования соответствующих элементов матриц) матричным методам квантовой химии. Поэтому ГРАФОВ ТЕОРИЯ т. применяют при выполнении сложных квантово-химический расчетов: для определения числа, свойств и энергий мол. орбиталей, например в комплексных соединение, прогнозирования реакционной способности сопряженных альтернантньгх и неальтернантных полиенов, выявления ароматические и антиароматические свойств веществ и др.
Для изучения в химический физике возмущений в системах, состоящих из большого числа частиц, используют так называемой диаграммы Фейнмана-графы, вершины которых отвечают элементарным взаимодействиям физических частиц, ребра-их путям после столкновений. В частности, эти графы позволяют исследовать механизмы колебательных реакций и определять устойчивость реакционных систем.
Для выбора рациональных путей превращения молекул реагентов при заданном множестве известных взаимодействие используют двудольные графы реакций (вершины соответствуют молекулам и этим реакциям, дуги-взаимодействие молекул в реакции; рис. 3,a). Такие графы позволяют разрабатывать диалоговые алгоритмы выбора оптим. путей химический превращений, для которых требуется наим. число промежуточных реакций, миним. число реагентов из перечня допустимых или достигается наиболее выход продуктов.
Сигнальные графы уравений кинетики реакций отображают системы кинетическая уравений, представленных в алгебраическо-операторной форме (рис. 3,б). Вершины графов отвечают так называемой информац. переменным, или сигналам, в виде концентраций реагентов, дуги-взаимосвязям сигналов, причем веса дуг определяются кинетическая константами. Такие графы применяют при изучении механизмов и кинетики сложных каталитических реакций, сложных фазовых равновесий при образовании комплексных соединение, а также для расчета параметров аддитивных свойств растворов.
Прикладные задачи. Для решения многомерных задач анализа и оптимизации химико-технол. систем (ХТС) используют следующей химико-технол. графы (рис. 4): потоковые, информационно-потоковые, сигнальные и графы надежности. К потоковым графам, представляющим собой взвешенные орграфы, относятся параметрические, материальные по общим массовым расходам физических потоков и массовым расходам некоторых химический компонентов либо элементов, а также тепловые графы. Перечисленные графы соответствуют физических-химический превращениям веществ и энергии в данной ХТС.
Параметрич. потоковые графы отображают преобразование параметров (массовых расходов и др.) физических потоков элементами ХТС; вершины графов отвечают мат. моделям аппаратов, а также источникам и стокам указанных потоков, а дуги-самим потокам, причем веса дуг равны числу параметров соответствующего потока. Параметрич. графы служат для разработки алгоритмов анализа технол. режимов многоконтурных ХТС. Такие алгоритмы устанавливают последовательность расчета систем уравений мат. моделей отдельных аппаратов к.-л. системы для определения параметров ее выходных потоков при известных значениях переменных входных потоков.
Материальные потоковые графы отображают изменения расходов веществ в ХТС. Вершины графов отвечают аппаратам, в которых трансформируются общие массовые расходы физических потоков и массовые расходы некоторых химический компонентов или элементов, а также источникам и стокам веществ потоков либо данных компонентов; соответственно дуги графов отвечают физических потокам или физических и фиктивным (химический превращения в-в в аппаратах) источникам и стокам к.-л. компонентов, а веса дуг равны массовым расходам обоих типов. Тепловые потоковые графы отображают балансы теплоты в ХТС; вершины графов соответствуют аппаратам, в которых изменяются расходы теплоты физических потоков, и, кроме того, источникам и стокам тепловой энергии системы; дуги отвечают физических и фиктивным (физических-химический превращения энергии в аппаратах) тепловым потокам, а веса дуг равны энтальпиям потоков. Материальные и тепловые графы используют для составления программ автоматизиров. разработки алгоритмов решения систем уравений материальных и тепловых балансов сложных ХТС.
Информационно-пстоковые графы отображают логико-информац. структуру систем уравений мат. моделей ХТС; применяются для составления оптим. алгоритмов расчета этих систем. Двудольный информац. граф (рис. 4, е)неориентированный или ориентированный граф, вершины которого отвечают соответственно уравениям f l -f 6 и переменным q 1 - V, а ветви отображают их взаимосвязь. Информац. граф (рис. 4, ж) - орграф, изображающий порядок решения уравений; вершины графа отвечают этим уравениям, источникам и приемникам информации ХТС, а ветви-информац. переменным.
Сигнальные графы соответствуют линейным системам уравений мат. моделей химико-технол. процессов и систем. Вершины графов отвечают сигналам (например, температуре), ветви-связям между ними. Такие графы используют для анализа статич. и динамич. режимов многопараметрич. процессов и ХТС, а также показателей ряда их важнейших свойств (устойчивости, чувствительности, управляемости).
Графы надежности применяют для расчета различные показателей надежности ХТС. Среди многочисленных групп этих графов (например, параметрич., логико-функциональных) особенно важны так называемой деревья отказов. Каждое такое дерево-взвешенный орграф, отображающий взаимосвязь множества простых отказов отдельных процессов и аппаратов ХТС, которые приводят к множеству вторичных отказов и результирующему отказу системы в целом (см. также Надежность).
Для создания комплексов программ автоматизир. синтеза оптим. высоконадежных производств (в том числе ресурсосберегающих) наряду с принципами искусств. интеллекта применяют ориентированные семантические, или смысловые, графы вариантов решений ХТС. Эти графы, которые в частном случае являются деревьями, изображают процедуры генерации множества рациональных альтернативных схем ХТС (например, 14 возможных при разделении ректификацией пятиком»понентной смеси целевых продуктов) и процедуры упорядоченного выбора среди них схемы, оптимальной по некоторому критерию эффективности системы (см. Оптимизация). ГРАФОВ ТЕОРИЯ т. используют также для разработки алгоритмов оптимизации временных графиков функционирования оборудования многоассортиментных гибких производств, алгоритмов оптим. размещения аппаратуры и трассировки трубопроводных систем, алгоритмов оптим. управления химико-технол. процессами и производствами, при сетевом планировании их работы и т.д.
Лит.. Зыков А. А., Теория конечных графов, [в. 1], Новосиб., 1969; Яцимирский К. Б., Применение теории графов в химии, Киев, 1973; Кафаров В. В., Перов В. Л., Мешалкин В. П., Принципы математического моделирования химико-технологических систем, М., 1974; Кристофидес Н., Теория графов. Алгоритмический подход, пер. с англ., М., 1978; Кафаров В. В., Перов В. Л., Мешал кин В. П., Математические основы автоматизированного проектирования химических производств, М., 1979; Химические приложения топологии и теории графов, под ред. Р. Кинга, пер. с англ., М., 1987; Chemical Applications of Graph Theory, Balaban A.T. (Ed.), N.Y.-L., 1976. В. В. Кафаров, В. П. Мешалкин.
Химическая энциклопедия. Том 1 >>
Изучение связи свойств веществ с их строением – одна из основных задач химии. Большой вклад в ее решение внесла структурная теория органических соединений, в число создателей которой входит великий российский химик Александр Михайлович Бутлеров (1828-1886). Именно он первым установил, что свойства вещества зависят не только от его состава (молекулярной формулы), но и от того, в каком порядке связаны между собой атомы в молекуле. Такой порядок назвали «химическим строением». Бутлеров предсказал, что составу C 4 H 10 могут соответствовать два вещества, имеющие разное строение – бутан и изобутан, и подтвердил это, синтезировав последнее вещество.
Идея о том, что порядок соединения атомов имеет ключевое значение для свойств вещества, оказалась очень плодотворной. На ней основано представление молекул с помощью графов, в которых атомы играют роль вершин, а химические связи между ними – ребер, соединяющих вершины. В графическом представлении длины связей и углы между ними игнорируются. Описанные выше молекулы C 4 H 10 изображаются следующими графами:
Атомы водорода в таких графах не указываются, так как их расположение можно однозначно установить по структуре углеродного скелета. Напомним, что углерод в органических соединениях четырехвалентен, поэтому в соответствующих графах от каждой вершины может отходить не более четырех ребер.
Графы – это математические объекты, поэтому их можно характеризовать с помощью чисел. Отсюда появилась идея выражать строение молекул числами, которые связаны со структурой молекулярных графов. Эти числа в химии называют «топологическими индексами». Рассчитав какой-либо топологический индекс для большого числа молекул, можно установить связь между его значениями и свойствами веществ, и затем использовать эту связь для предсказания свойств новых, еще не синтезированных веществ . К настоящему моменту химиками и математиками предложены сотни разнообразных индексов, характеризующих те или иные свойства молекул.
Способы расчета топологических индексов могут быть самыми разнообразными, но все они должны удовлетворять вполне естественным требованиям:
1) каждой молекуле соответствует свой, индивидуальный индекс;
2)близкие по свойствам молекулы имеют похожие индексы.
Посмотрим, как реализуется эта идея на примере предельных углеводородов – алканов. Ключевым для построения многих индексов служит понятие «матрицы расстояний» D. Так называют матрицу, элементы которой показывают число ребер, разделяющих соответствующие вершины молекулярного графа. Построим эту матрицу для трех изомерных углеводородов состава C 5 H 12 . Для этого изобразим их молекулярные графы и перенумеруем вершины (в произвольном порядке):
Диагональные элементы матрицы расстояний для углеводородов равны 0. В первом графе вершина 1 связана с вершиной 2 одним ребром, поэтому элемент матрицы d 12 = 1. Аналогично, d 13 = 2, d 14 = 3, d 15 = 4. Первая строка в матрице расстояний нормального пентана имеет вид: (0 1 2 3 4). Полные матрицы расстояний для трех графов:
молекула химия топологический индекс
Расстояние между вершинами не зависит от порядка их перечисления, поэтому матрицы расстояний симметричны относительно диагонали.
Первый топологический индекс, отражающий структуру молекулярного графа (G), был предложен в 1947 г. Винером . Он определяется как сумма диагональных элементов матрицы расстояний плюс полусумма ее недиагональных элементов:
(1)
Для указанных выше графов, соответствующих пентанам C 5 H 12 , индекс Винера принимает значения 20, 18 и 16. Можно предположить, что он описывает степень разветвленности углеводорода: наибольшие значения соответствуют наименее разветвленным углеводородам. С увеличением длины углеродного скелета индекс Винера растет, так как в матрице расстояний становится больше элементов. Статистический анализ на примере нескольких сотен углеводородов показал, что индекс Винера коррелирует с некоторыми физическими свойствами алканов: температурами кипения, теплотами испарения, молярным объемом.
Другой тип индексов основан не на расстояниях между вершинами, а на числе ближайших соседей для каждой вершины. В качестве примера рассчитаем индекс Рандича , который определяется следующим образом:
(2)
где v i – степень i-й вершины, то есть число ребер, от нее отходящих. Для указанных выше графов индекс Рандича равен:
(3)
(4)
(5)
Этот индекс также уменьшается с увеличением степени разветвленности углеродного скелета и может быть использован для описания физических свойств алканов.
Алканы – самый скучный с химической точки зрения тип органических молекул, так как он не содержит никаких «особенностей» – двойных и тройных связей или атомов других элементов, кроме водорода и углерода (такие элементы называют гетероатомами). Введение гетероатомов в состав молекулы может кардинально изменить свойства вещества. Так, добавление всего одного атома кислорода превращает довольно инертный газообразный этан C 2 H 6 в жидкий этанол C 2 H 5 OH, проявляющий довольно высокую химическую и биологическую активность.
Следовательно, в топологических индексах молекул, более сложных, чем алканы, надо учитывать присутствие кратных связей и гетероатомов. Это делается путем присвоения вершинам и ребрам графов определенных числовых коэффициентов – «весов» . Например, в матрице расстояний диагональные элементы можно определить через заряд ядра Z i (напомним, что для углерода Z = 6):
(6)
Недиагональные элементы определяются суммированием по ребрам, причем каждому ребру, соединяющему атомы с зарядами Z i и Z j , присваивается вес
(7)
где b равно порядку связи между атомами (1 для одинарной связи, 2 для двойной, 3 для тройной). Для обычных одинарных связей углерод-углерод, k = 1. Сравним индексы Винера пропана C 3 H 8 и трех близких по составу кислородсодержащих веществ: пропилового спирта C 3 H 8 O, изомерного ему изопропилового спирта C 3 H 8 O и ацетона C 3 H 6 O.
Для этого рассчитаем по указанным правилам матрицы расстояний. В молекулярных графах укажем все атомы, кроме атомов водорода.1) Пропан
2) В молекуле пропилового спирта кислород связан с крайним атомом углерода:
Для одинарной связи C–O весовой коэффициент равен 36/(68) = 0.75. Диагональный элемент матрицы, отвечающий кислороду:
d 44 = 1 – 6/8 = 0.25.
Для молекул, содержащих гетероатомы, индекс Винера перестает быть целым. 3) В молекуле изопропилового спирта кислород связан со средним атомом углерода:
4) В ацетоне порядок соединения атомов – такой же, как в изопропиловом спирте, но связь между углеродом и кислородом – двойная:
Для двойной связи C=O весовой коэффициент равен 36/(268) = 0.375
Как видно, добавление гетероатома в структуру алканов приводит к возрастанию индекса Винера за счет увеличения размера матрицы расстояний. Добавление кратных связей и увеличение степени разветвления молекулы уменьшает этот индекс. Эти правила выполняются и для более сложных молекул. Первоначально топологические индексы разрабатывались только с целью предсказания физико-химических свойств веществ. Однако впоследствии их стали применять и для решения других задач. Рассмотрим некоторые из них. Одно из приложений топологических индексов связано с классификацией органических соединений и созданием органических баз данных. Задача состоит в том, чтобы найти такой индекс, который взаимно однозначно характеризует химическую структуру и по которому эту структуру можно восстановить. Требуемый индекс должен обладать хорошей дискриминирующей способностью, то есть различать между собой даже близкие по структуре молекулы. Эта задача – грандиозная, поскольку органических структур известно уже более 20 миллионов. Ее решение, по-видимому, будет найдено в результате использования составных топологических индексов.
химического соединения таким образом, что вершинам графа соответствуют атомы молекулы , а рёбрам графа - химические связи между этими атомами. Понятие «молекулярный граф» является базовым для компьютерной химии и хемоинформатики . Как и структурная формула, молекулярный граф является моделью молекулы, и как всякая модель , он отражает далеко не все свойства прототипа. В отличие от структурной формулы, где всегда указывается, к какому химическому элементу относится данный атом, вершины молекулярного графа могут быть непомеченными - в этом случае молекулярный граф будет отражать только структуру, но не состав молекулы. Точно так же рёбра молекулярного графа могут быть непомеченными - в таком случае не будет делаться различие между ординарными и кратными химическими связями. В некоторых случаях может использоваться молекулярный граф, отражающий только углеродный скелет молекулы органического соединения. Такой уровень абстрагирования удобен для вычислительного решения широкого круга химических задач.Естественным расширением молекулярного графа является реакционный граф , рёбра которого соответствуют образованию, разрыву и изменению порядка связей между атомами.
«Подчеркнём, что именно в теории Р. Бейдера впервые нашла обоснование эмпирическая идея аддитивности, именно эта теория позволила придать строгий физический смысл целому ряду понятий классической теории химического строения , в частности, „валентному штриху“ (связевый путь) и структурной химической формуле (молекулярный граф).»
|
||||||||||||||||||
VARIABILITY МНОГООБРАЗИЕ СТРОЕНИЯ OF STRUCTURES AND FORMS И ФОРМ МОЛЕКУЛ OF ORGANIC COMPOUND ОРГАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ MOLECULES L. P. OLEKHNOVICH г. и. йгЦпзйЗау кУТЪУ‚ТНЛИ „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММ˚И ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ, кУТЪУ‚-М‡-СУМЫ The question of genesis and the variety of the types ЗЗЦСЦзаЦ of mirror configurational isomerism of organic com- Химия углерода – органическая химия – выде- ляется разнообразием строения и чрезвычайной pounds are discussed with многочисленностью индивидуальных соединений the application of some . Общее число известных органических соеди- elements of graph theory. нений (свыше десяти миллионов) ежегодно попол- няется десятками тысяч новых веществ, синтезиру- Briefly the principles of емых в лабораториях. Органическая химия удивляет analysis of molecular многообразием классов молекул, в строении кото- forms (“figures”) on the рых на первый взгляд не видно никакой логики. Ос- новной причиной появления не поддающегося basis of symmetry opera- простому перечислению (>107) множества органи- tions are enlightened. Dif- ческих соединений являются уникальные свойства ferences of achiral and центрального элемента – углерода. chiral compounds are Мир соединений углерода – это неисчерпаемая комбинаторика вариантов и способов построения classified. молекул из n атомов С, m атомов O, k–N, l–S, h–P и т.д. к‡ТТПУЪ ВМ˚ ‚УФ УТ˚ щгЦеЦзнх нЦйкаа ЙкДойЗ Ф УЛТıУК‰ВМЛfl ПМУ„У- З абйЕкДЬЦзаьп ейгЦдмг У· ‡БЛfl ‚Л‰У‚ БВ Н‡О¸- Подобно тому как физики пользуются эконом- МУИ НУМЩЛ„Ы ‡ˆЛУММУИ ным, но емким языком математических формул и ЛБУПВ ЛЛ У „‡МЛ˜ВТНЛı выкладок, химики используют особый язык запи- сей строения соединений. Этот язык тем более не- ТУВ‰ЛМВМЛИ Т Ф Л‚ОВ˜В- обходим в органической химии для упорядочива- МЛВП ˝ОВПВМЪУ‚ ЪВУ ЛЛ ния представлений о многочисленных подклассах „ ‡ЩУ‚. д ‡ЪНУ УТ‚В˘В- гигантского разнообразия молекул. Чтобы тратить меньше времени и места при изображении струк- М˚ Ф ЛМˆЛФ˚ ‡М‡ОЛБ‡ турных формул, химики-органики часто не за- ЩУ П (ЩЛ„Ы) ПУОВНЫО трудняют себя обозначениями атомов. Этот прием М‡ УТМУ‚В Ф В‰ТЪ‡‚ОВ- особенно удобен, когда рассматриваются не ка- кие-либо свойства конкретного соединения, а об- МЛИ У· УФВ ‡ˆЛflı ТЛППВ- щие закономерности строения и формы рядов мо- Ъ ЛЛ, НО‡ТТЛЩЛˆЛ У‚‡- лекул. Так, вместо того чтобы рисовать буквенные М˚ УТУ·ВММУТЪЛ ТЪ УВ- обозначения углеродных и водородных атомов во всех структурных изомерах, например предельно- © йОВıМУ‚Л˜ г.и., 1997 МЛfl ТЛППВЪ Л˜М˚ı Л го углеводорода гексана – С6Н14 , изображаются ‡ТЛППВЪ Л˜М˚ı ТУВ‰ЛМВ- графы (схема 1) МЛИ, ‰‡МУ УФ В‰ВОВМЛВ НЛ ‡О¸МУИ ТЛППВЪ ЛЛ. Схема 1 44 лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹2, 1997 Вершины графов (точки) – это атомы углерода, соединений, изображать также сложные превраще- а соединяющие их линии (ребра) – это связи С–С. ния молекул (реакции) и понимать друг друга. Поскольку углерод четырехвалентен, а водород од- Вообще химические графы имеют прямое отно- новалентен, то ясно, что при концевых (свободных) шение к специальной отрасли математики – теории вершинах графа должно быть по три атома Н, при графов . В этой теории граф G порядка n опреде- средних вершинах типа – по два, при третич- ляется как непустое множество вершин V1 , V2 , …, Vn ных вершинах – по одному и не должно быть с множеством (m) парных отношений – ребер, свя- водородных атомов при четвертичных вершинах зывающих различные вершины. Начало теории гра- фов положили знаменитые рассуждения Л. Эйлера. Приведенные выше графы, следовательно, не- (1736) о кёнигсберских мостах, где были сформули- полные, однако они достаточны для представления рованы критерии обхода всех ребер графа без пов- структурных изомеров углеводородов. Ниже приве- торений, а также другие его работы, связанные с ма- дены графы молекул непредельных углеводородов с тематическими головоломками и развлечениями. двойными (С=С) и тройными (С≡С) связями, а так- Важные вехи на пути развития этой теории состави- же графы некоторых циклических и каркасных уг- ли работы Г. Кирхгофа (1847) и В. Гамильтона леводородов (табл. 1). (1859). А. Кэли (1857, 1874–1875) был первым, кто Тригональный граф (схема 2) обобщает пред- использовал графовые представления (перечисле- ставления о фигурах весьма различных молекул. ния графовых “деревьев”) в связи с подсчетом числа изомеров первых членов ряда предельных углеводо- Таким образом, графическая (графовая) форму- родов – алканов. Действительно, только с помощью ла соединения – это экономное представление важ- аппарата теории графов (теорема Пойа, 1937) мож- ных частных и наиболее общих закономерностей его но решать задачи перебора (перечисления) всех строения и формы. Химикам достаточно подобных структурных изомеров молекул СnH2n +2 , CnH2n , графов, чтобы, не пользуясь длинными названиями CnH2n − 2 , CnH2n − 4 и т.д. (см. графы изомеров гексана), Таблица 1 Z,E-изомеры бутена-2 Z E H3C CH CH CH3 .R . R,L-изомеры 1,3-диметил-3-кумулена L . Z. . E. Z,E-изомеры 1,4-диметил-4-кумулена. . . . . . Диметилацетилен 1,4-диметил-биацетилен Ксилолы Бензол Толуол орто- мета- пара- Циклические предельные угледовороды Циклопропан Циклобутан Циклопентан Циклогексан и так далее Каркасные углеводороды Тетраэдран Призман Кубан йгЦпзйЗау г.и. езйЙййЕкДбаЦ лнкйЦзаь а ойке ейгЦдмг йкЙДзауЦлдап лйЦСазЦзав 45 O 2− O − CH2 + F B C N C = F F O O O O H2C CH2 Трифторид Анион кислотного остатка Катион триметиленметана бора угольной азотной кислоты кислоты Схема 2 а также изомеров производных (замещенных) угле- лаееЦнкаь а ДлаееЦнкаь ейгЦдмг, водородов, когда “вручную”, при больших n, это дакДгъзДь лаееЦнкаь требует много времени. В настоящее время теория Обратимся теперь к другой особенности нашего графов естественным образом входит во многие сознания – вниманию. Когда мы рассматриваем ка- разделы современной математики, такие, как топо- кой-либо из окружающих объектов (в том числе мо- логия и комбинаторика, линейная алгебра и теория лекулярные графы), то при этом зачастую реализу- групп, теория вероятностей и численный анализ. ются тоже сознательно неконтролируемые операции Она успешно применяется в физике, химии, гене- внимания, которые отмечают, в каком соответствии тике, антропологии, электротехнике, проектирова- друг другу находятся части объекта. Древние греки нии ЭВМ, архитектуре, социологии и лингвистике. термином “соизмеримый” (σιёёετροσ) обозначали Следует иметь в виду особенности “языка” хи- такие особенности взаиморасположения, отноше- мических графов: ний частей объекта, которые и обусловливают его симметричный вид, форму – строгую симметрию молекулярные графы формализуют соедине- зданий, кристаллов минералов, двустороннюю сим- ния, включающие, как правило, несколько (два и метрию листьев растений, поворотную симметрию более) сортов атомов-вершин; цветов и т.д. если общая теория графов допускает произ- Объекты симметричны, если соразмерность и вольное количество ребер, исходящих из одной вер- взаиморасположение их частей допускают такие шины (в том числе изолированные вершины при операции поворотов, внутренних отражений, ин- полном отсутствии ребер), то вершины химическо- версий (комбинирование поворотов и отражений), го графа обязаны иметь ровно столько ребер (свя- действие которых оставляет их (объекты) неизмен- зей), какова валентность (координационное число) ными, переводит их самих в себя. Строение симмет- данного атома в химическом соединении; ричных объектов таково, что оно характеризуется наличием хотя бы одного из следующих элементов вершины химического графа вместе с направ- симметрии: лениями ребер должны быть четко ориентированы, плоскости зеркального отражения σ (S1) – пло- ибо они представляют собой взаиморасположение скости симметрии, имеющие ее объекты, состоят из атомов в молекулах, а также углы между связями одинаковых, зеркально-тождественных половин атомов: для тетраэдрического атома углерода эти (см. графы на схемах 1, 2 и в табл. 1); углы обычно равны 109,5°, для тригонально-плос- кого – 120°, для дигонального, ацетиленового – оси симметрии Сn , n = 2, 3, 4, …, – части объек- 180°, но могут быть и исключения (см. графы кар- та совмещаются, как и объект в целом, при его по- касных углеводородов в табл. 1), а трехмерные (объ- воротах на углы 2π / n (см. табл. 1 и схему 2); емные) проекции графов необходимы для пред- зеркально-поворотной оси Sn , S2 = i – центр ставления конфигураций молекул. инверсии – является комбинацией С2 + S1 , S4 = ком- Химики-экспериментаторы проектируют, по- бинации C4 + S1 (см. E-изомеры бутена-2, четных добно инженерам, графы новых, неизвестных ранее кумуленов, тетраэдран и кубан в табл. 1). соединений, продумывают и реализуют способы их Объект асимметричен, если его внутреннее синтеза. Химики-теоретики подвергают сравни- строение и внешнюю форму нельзя охарактеризо- тельному анализу в квантовохимических расчетах вать ни одним из перечисленных элементов сим- подчас весьма разные структуры, чтобы выявить метрии (см. 2-й и 4-й изомеры гексана на схеме 1, пределы изменений межатомных расстояний и рас- аланин на схеме 3). Для таких объектов имеется един- пределения электронов в ионах и молекулах, пред- ственная тривиальная операция симметрии – С1 . ставляемых одним графом (см. схему 2). Графичес- Поворот С1 на 360° (2π) совмещает асимметричный кие формулы стали обиходными немногим более объект сам с собой. Разумеется, действием опера- 100 лет назад, и графовый язык общения химиков ции С1 совмещаются сами с собой и все симметрич- непрерывно совершенствуется. ные объекты, поскольку этот поворот тривиален. 46 лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹2, 1997 3 3 H H H H H COOH H3C COOH HOOC CH3 C 2 C C C 2 C 1 4 4 1 H H H2N H H2N H H2N H H NH2 Метан Метиламин Глицин l-аланин r-аланин Схема 3 Сферы, шары – примеры объектов, имеющих асимметричная молекула (аланин) имеет зеркаль- бесконечные множества всех элементов симметрии – ного двойника – дубль (см. схему 3). S1(σ), Cn , Sn . Шар совмещается сам с собой при лю- бых поворотах, любых ориентациях зеркальных В 60–70-е годы нашего столетия ученые-стерео- плоскостей и осей вращения, проходящих через его химики Р. Кан, К. Ингольд и В. Прелог выработали центр. Поэтому правильные выпуклые многогран- общие правила для отнесения компонентов-дубле- ники (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр – тов подобного типа к левым (l) и правым (r) формам: идеальные Платоновы тела), в которые вписывают- заместители (атомы), связанные с асимметри- ся сферы, имеют хотя и конечные наборы элементов ческим углеродным или иным атомным центром, симметрии, но их число и разнообразие всегда наи- сортируются по их иерархии, и самым старшим (но- большие в сравнении с другими многогранниками. мером 1) является тот, который имеет бульшую Уже давно было отмечено, что если асимметрич- атомную массу: в аланине (схема 3) 14N старше 12С, а ную фигуру отразить в зеркальной плоскости, распо- среди атомов углерода метильной и карбоксильной групп старше последний: он связан с тяжелыми 16О, ложенной вне этого объекта, то получается фигура, в в то время как первый – с легкими 1Н; точности подобная исходной, но несовместимая с первой при любых сдвигах и поворотах. Следова- наблюдатель ориентируется (конечно, мыс- тельно, всем асимметричным объектам можно со- ленно) к молекуле, или молекула ориентируется к поставить зеркальноподобные двойники. Обыден- наблюдателю таким образом, чтобы углеродный ные примеры этого – наша обувь и перчатки, левые центр “заслонял” самый младший заместитель (Н), и правые пары фигур которых облегают соответст- и если при этом траектория последовательного пе- венно левые и правые зеркально-дублетные конеч- рехода от самого старшего к младшим (незаслонен- ности наших вообще-то планарно-симметричных ным) заместителям (то есть от первого номера к по- фигур. Кристаллографы еще несколько веков назад следующим) аналогична движению стрелок часов, отметили распространенность зеркальноподобных то конфигурация абсолютно правая (r), если наобо- энантиоморфных форм в неорганическом мире – рот, то абсолютно левая (l). левые и правые кристаллы кварца, турмалина, каль- цита (исландский шпат). Введя представления об абсолютно левых и пра- вых конфигурациях, мы должны предупредить об Зеркальная изомерия, энантиомерия, в органи- относительности этой абсолютности. Операции зер- ческой химии – весьма распространенное явление. кального отражения соответствует Р – инверсия ко- Приоритет ее открытия в середине прошлого столе- ординат всех атомных и субатомных частей объекта. тия принадлежит выдающемуся французу Луи Пас- Однако поскольку неизвестно внутреннее строение теру, обратившему внимание на зеркальное подобие атомных (электроны) и субатомных (кварки, глюо- форм кристаллов калий-аммонийных солей винной ны) частиц, то операцию Р физики дополняют фор- кислоты. С именем Пастера связано становление мальной операцией зарядового сопряжения С – стереохимии, основывающейся на проблемах сим- сменой на противоположные знаки зарядов и всех метрии и асимметрии молекул, их строения (формы) других антиподных квантовых характеристик атом- в трехмерном пространстве. Важной вехой разви- ных (протонов, нейтронов, электронов) и субатом- тия стереохимии явилась предложенная в 1874 году ных (кварков, глюонов) частиц, а также операцией Я. Вант Гоффом и Ж. Ле Белем тетраэдрическая инверсии направлений движения (импульсов и мо- модель атома углерода. Если в простейшем углево- ментов импульсов) всех составляющих объекта, ко- дороде, фигура которого аналогична высокосим- торая соответствует обращению времени Т. Поэто- метричному тетраэдру, – метане атомы водорода му действительно предельной инверсией является последовательно заменять (замещать) другими ато- комбинированная СРТ-операция. Отсюда следует, мами и атомными группировками, то симметрия что абсолютным антиподом исходной, например, получающихся молекул быстро понижается. После r-молекулы должен быть ее l-партнер, но состоя- трех таких процедур с тетраэдрическим углеродным щий из антивещества и движущийся во времени центром связаны уже четыре разных заместителя, и вспять. Идеи комбинирования Р-, С- и Т-операторов йгЦпзйЗау г.и. езйЙййЕкДбаЦ лнкйЦзаь а ойке ейгЦдмг йкЙДзауЦлдап лйЦСазЦзав 47 симметрии принадлежат Г. Людерсу и В. Паули единить к бесконечно симметричной сфере, то все (1954–1955). элементы симметрии исходного объекта деградиру- Вследствие гигантских возможностей варьирова- ют полностью, то есть асимметричная “добавка” ния атомов и атомных групп, способных связывать- переводит идеально симметричный (синглетный) ся с углеродом, в принципе реализуемы бесконеч- объект в класс энантиомерных дублетов. ные последовательности зеркальных r, l-дублетов Однако не следует считать, что энантиомерия молекул с асимметрическими углеродными центра- невозможна среди симметричных фигур (молекул). ми. Отметим их фундаментальную особенность: ес- Запомним простую закономерность: зеркальная ли асимметрический углеродный или иной атом- конфигурационная изомерия действительно невоз- ный центр поместить в качестве заместителя на можна в рядах объектов (молекул), имеющих в ка- одну из вершин высокосимметричного объекта (на- честве внутренних элементов симметрии плоско- пример, на тетраэдран, кубан; табл. 1) и даже присо- сти зеркального отражения σ (S1) и/или зеркально- Таблица 2 C2 C2 R L . . (CH 2) n (CH 2) n R, L-транс-циклооктены R, L-транс-циклоэтилены C2 C2 C2 C2 C2 C2 Твистан R L Z Z -бифенилы симметрии C2 Z Z R L -трифенилметаны симметрии C3 L R C2 R Гексагелицен L Спирали, пружины, шнеки, винты, гайки, болты 48 лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹2, 1997 поворотные оси i (S2, 3, 4, …). При отражении таких д – топологически-киральные молекулы (кате- фигур внешней зеркальной плоскостью получаются наны, узлы на схеме 4). тождественные исходным объекты-копии (см. гра- Все же условность разбиения очевидна в свете фы на схемах 1, 2 и в табл. 1). Наоборот, если строе- разработанных Р. Каном, К. Ингольдом и В. Прело- ние объектов (молекул) характеризуется отсутстви- гом , дополненных их последователями ем внутренних зеркальных элементов симметрии Sn правил отнесения конфигураций энантиомерных (σ, i), но они симметричны относительно поворотов молекул к R- или L-рядам – это циркулярные, спи- Cn (n = 2, 3, 4, …), то такие фигуры всегда R, L-дуб- ральные (киральные) движения по (R) или против летны. Простейший пример – 1,3-диметил-3-куму- (L) хода стрелок часов при последовательном рас- лен (табл. 1) и все его гомологи с нечетным числом смотрении “старшинства” (веса) заместителей, рас- атомов углерода в линейной цепи. В табл. 2 показа- полагающихся (схема 3) вокруг атомного центра – ны некоторые R, L-дублеты из большого множества а, выделенной плоскости – б (транс-циклоэтилены, молекул, симметричных относительно поворотов. табл. 2), при обходе контуров пропеллеров – в, вин- Отметим, что они вообще не имеют асимметричес- тов – г, узлов – д в табл. 2, на схеме 4. ких углеродных центров. В технике молекулам бифе- нилов и трифенилметилов аналогичны фигуры ло- пастей вентиляторов, пропеллеров, роторы турбин; фигурам гелиценовых молекул аналогичны спирали, пружины, шнеки, левая и правая нарезка винтов. Для краткой характеристики обсуждаемого яв- -катенан ления на рубеже XIX и XX веков лорд Кельвин Трилистный узел (CH2)m , с ориентированными и не- минимальное m = 66 предложил термин “chirality” (от греч. χειρ – рука). тождественными кольцами В русском языке употребляются два варианта произ- ношения и написания этого термина: киральность и Схема 4 хиральность. Автор вместе с физиками отдает пред- почтение первому. Сопряженные операцией зер- кального отражения (координатной инверсии P) мо- Следовательно, строго говоря, не существуют лекулы – компоненты энантиомерных дублетов – качественно различные виды киральности молекул. отличаются лишь единственным свойством – про- Например, называемая топологической кираль- тивоположными знаками +(R) и −(L) угла враще- ность д на схеме 4 всего лишь отражение той струк- ния плоскости поляризации света. Аналогичные турной особенности изображенных молекул, что антиподные (+, −) отношения характерны также отдельные их части удерживаются вместе не хими- для полюсов магнитов, зарядов и других квантовых ческими связями, а топологией строения цепей (ка- характеристик атомных и субатомных частиц. Такие тенаны), замкнутых спиралей и узлов; их киральная отношения называются физиками киральной сим- (R, L) форма вполне аналогична форме пропелле- метрией. ров – в и спиралей – г. Поэтому все перечисленные выше виды киральности молекул количественно Благодаря усилиям химиков-синтетиков, увле- оцениваются единообразно: знаком (+, −) и вели- ченных проблемами стереостроения, за последние чиной угла вращения плоскости поляризации при десятилетия стали известны и доступны весьма мно- стандартной длине волны света. гочисленные, в том числе экзотические, виды ки- Тем не менее известно также и то, что при поли- ральных молекул (см. табл. 2 и схему 4). Принято конденсации центрально-киральных (r либо l) ами- считать , что разнообразие киральных химичес- нокислот, рибонуклеотидов общая киральность по- ких соединений разделяется на пять видов в соответ- лимера (белка, ДНК) не может быть оценена ствии с симметричными особенностями строения: тривиальным суммированием индивидуальных ки- а – молекулы с киральным центром не имеют ральностей звеньев: Σrn(ln) . Эта сумма “объем- никаких элементов симметрии, кроме элемента лется” спиральной (геликальной) киральностью идентичности C1 (примеры – аминокислоты (ала- макромолекулы, имеющей свой знак (+R h, −Lh) и нин на схеме 3), сахара-углеводы); абсолютную величину, б – планарно-киральные молекулы симметрии Nr (l) ∑ l (r) ⊂ R (L). h h C1 и/или C2 (выделенный элемент строения – плос- n n (1) кость, примеры – транс-циклоэтилены в табл. 2); Тот факт, что регулярная орто-конденсация аки- в – аксиально-киральные молекулы c симмет- ральных бензольных колец также приводит к спи- рией Cn (имеют форму пропеллеров или свастик, ральным гелиценам (табл. 2), лишь подтверж- примеры – твистан, бифенил, трифенилметан в дает общее правило: и циркулярное объединение табл. 2 и т.п.); акиральных мономеров подходящего строения, и г – геликально-киральные молекулы симметрии линейная поликонденсация киральных (только r C2 (характерная форма – спираль, примеры – гекса- или только l) звеньев автоматически ведут к спи- гелицен в табл. 2, белки, ДНК); ральной форме полимера. Можно полагать, что в йгЦпзйЗау г.и. езйЙййЕкДбаЦ лнкйЦзаь а ойке ейгЦдмг йкЙДзауЦлдап лйЦСазЦзав 49 рядах таких макромолекул реализуется некая пос- имеющие внутренние зеркальные элементы симмет- ледовательность киральностей, соответствующая рии Sn , конфигурационно однозначны (синглетны), иерархии уровней стереостроения. Например, пер- поскольку их внутреннее строение Р-четно. Объек- вичный, вторичный, третичный и четвертичный ты, не имеющие внутренней Р-четности строения уровни строения гемоглобина , очевидно, харак- (не имеющие элементов симметрии Sn), всегда кон- теризуются также последовательностями “вложе- фигурационно двузначны (дублетны, левый + пра- ний” типа (1) суммы индивидуальных киральностей вый). Чтобы из Р-четного объекта получить его ко- аминокислот в спиральную киральность полипеп- пию, достаточно одной Рσ(i)-операции, но чтобы тида, этих двух – в “глобулярную” киральность скопировать Р-нечетный объект, необходимы две третичного уровня, наконец, этих трех – в “надмо- последовательные Р-операции: лекулярную” киральность квартета (тетраэдра) объединенных глобул. Отсюда, между прочим, сле- P P R L R. дует, что стереохимия полимеров, их ассоциатов должна учитывать в дополнение к перечисленным Заметим, однако, что далеко не всем окружаю- выше также “глобулярную” – е и “надмолекуляр- щим нас в живой и неживой природе Р-нечетным ную” – ж виды киральности. Именно следующие за объектам можно легко найти левых либо правых первичным (структурным) верхние конфигураци- партнеров-близнецов, например выбранному дере- онные уровни организации макромолекул играют ву в лесу или камню из кучи щебня. Отметим далее, решающую роль при их функционировании в орга- что киральная симметрия абсолютно (на 100%) не низмах. Так, биохимические реакции с участием соблюдается для Р-нечетных молекул органических ферментов эффективно осуществляются лишь в соединений, входящих в состав всех живых орга- случаях, когда предварительно реализована ком- низмов на нашей планете. Если это аминокислоты, плементация, то есть “узнавание”, отбор тех моле- то только левые (l); если сахара-углеводы, то только кул реагентов и субстратов, особенности конфигу- правые (r); если это биополимеры, то они спираль- рации которых (“фигуры” которых) идеально но закручены только вправо (белки, ДНК). На эту согласуются с контурами, формами соответствую- закономерность, называемую киральной асиммет- щих полостей в глобулах ферментов. Бытовым ана- рией биосферы, также впервые обратил внимание логом такой комплементации Д. Кошланд предло- Л. Пастер. жил считать соответствие ключа и замка . ганЦкДнмкД дакДгъзДь ДлаееЦнкаь 1. Общая органическая химия: Пер. с англ. М.: Химия, Обобщим изложенное выше. Данная статья пре- 1981–1986. Т. 1–12. следует цель показать, что в необозримом на пер- 2. Жданов Ю.А. Углерод и жизнь. Ростов н/Д: Изд-во вый взгляд материале органической химии легче РГУ, 1968. 131 с. ориентироваться, если усвоить принципы графово- 3. Татт У. Теория графов. М.: Мир, 1988. го изображения наиболее общих характеристик строения молекул, а также принципы оценки их 4. Соколов В.И. Введение в теоретическую стерео- конфигурации – формы в трехмерном пространст- химию. М.: Наука, 1982; Успехи химии. 1973. Т. 42. ве – на основе идей симметрии и асимметрии. По- С. 1037–1051. следние включают представления об основных опе- 5. Ногради М. Стереохимия. М.: Мир, 1984. раторах симметрии: плоскости, осях и зеркально- 6. Харгиттаи И., Харгиттаи М. Симметрия глазами поворотных осях, используемых при выявлении тех химика. М.: Мир, 1989. внутренних особенностей строения молекул, кото- 7. Филиппович И.В., Сорокина Н.И. // Успехи соврем. рые определяют их внешний вид, форму и в конеч- биологии. 1983. Т. 95. С. 163–178. ном счете важнейшие их свойства. При “сортировке” молекул на симметричные и * * * асимметричные особая роль принадлежит операто- ру зеркального отражения – координатной инвер- Лев Петрович Олехнович, доктор химических на- сии Р. Оператор Рσ координатам всех частей (ато- ук, профессор, зав. кафедрой химии природных и мов) объекта, расположенного слева от выбранной высокомолекулярных соединений Ростовского го- плоскости, ставит в однозначное соответствие коор- сударственного университета, зав. лабораторией динаты инвертированного (отраженного) объекта внутренней динамики молекул химфака и НИИ фи- справа от этой плоскости. Оператор Pi осуществляет зической и органической химии РГУ, член-коррес- аналогичную координатную инверсию относитель- пондент Российской академии естественных наук. но точки, выбранной вне объекта (легко сообразить Область научных интересов: органический синтез, и проверить, что при действии Pi -оператора также кинетика и механизмы молекулярных перегруппи- получается зеркальный двойник объекта, но повер- ровок, стереохимия и стереодинамика. Соавтор нутый, опрокинутый на 180°). Объекты (молекулы), двух монографий и автор более 370 научных статей. 50 лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹2, 1997
