Заданы математическое ожидание а=3 и среднее квадратичное отклонение =5 нормально распределенной случайной величины Х.

Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график.

Найти вероятность того, что х примет значение из интервала (2;10).

Найти вероятность того, что х примет значение превышающее 10.

Найти интервал симметричный относительно математическое ожидание, в котором с вероятностью =0,95 будут заключены значения величины х.

1). Составим функцию плотности распределения случайной величины Х с параметрами а=3, =5 воспользовавшись формулой

. Построим схематически график функции
. Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х=3 и имеетmax в этой точке, равный
, т.е.
и две точки перегиба
с ординатой

Построим график

2) Воспользуемся формулой:

Значения функций найдены по таблице приложений.

4) Воспользуемся формулой
. По условию вероятность попадания в интервал симметричный относительно математического ожидания
. По таблице найдемt, при котором Ф(t)=0,475, t=2. значит
. Таким образом,
. Ответ х(-1;7).

К задачам 31-40.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение =5, выборочная средняя
и объем выборкиn=25.

Требуется найти доверительный интервал
.

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t)=0,95/2=0,475. По таблице приложения находим t=1,96. Подставив, окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04

К задачам 41-50.

Отдел технического контроля проверил 200 партий одинаковых изделий и получил следующее эмпирическое распределение, частота n i – количество партий, содержащих x i нестандартных изделий.требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число нестандартных изделий Х распределено по закону Пуассона.

Найдем выборочную среднюю:

Примем в качестве оценки параметра  распределения Пуассона выборочную среднюю =0,6. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона
имеет вид
.

Положив i=0,1,2,3,4 найдем вероятности P i появления i нестандартных изделий в 200 партиях:
,
,
,
,
.

Найдем теоретические частоты по формуле
. Подставив в эту формулу значения вероятности, получим
,
,
,
,
.

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу. Объединим малочисленные частоты(4+2=6) и соответствующие им теоретические частоты (3,96+0,6=4,56).

Вероятность того, что отклонение СВ X от её М.О. a по абсолютной величине будет меньше заданного положительного числа , равна

Если в этом равенстве положить ,то получим

s w:space="720"/>"> ,

То есть нормально распределенная СВ X отклоняется от своего М.О. a , как правило, менее чем на 3 .В этом и состоит так называемое правило 3 сигм , которым часто пользуются в математической статистике.

Функция одной случайной величины. Математическое ожидание функции одной СВ.(тетр)

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y , то Y называют функцией случайного аргу-мента Х : Y = φ (X ).

Выясним, как найти закон распределения функции по известному закону распределения аргумента.

1) Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина, причем различным значениям Х соот-ветствуют различные значения Y . Тогда вероятности соответствующих значений Х и Y равны.

2) Если разным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y , то вероятности значений аргумента, при которых функция принимает одно и то же значение, складываются.

3) Если Х – непрерывная случайная величина, Y = φ (X ), φ (x ) – монотонная и дифференцируемая функция, а ψ (у ) – функция, обратная к φ (х ).

Математическое ожидание функции одного случайного аргумента.

Пусть Y = φ (X ) – функция случайного аргумента Х , и требуется найти ее математическое ожидание, зная закон распределения Х .

1) Если Х – дискретная случайная величина, то

2) Если Х – непрерывная случайная величина, то M (Y ) можно искать по-разному. Если известна плотность распределения g (y ), то

21. Функция двух случайных аргументов. Распределение функции Z=Х+У для дискретных независимых СВ Х и У.(тетр)

Если каждой паре возможных значений случайных величии X и У соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y и пишут Z=φ(X,Y). Если X и Y-дискретные независимые случайные величины, то, для того чтобы найти распределение функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложить каждое возможное значение X со всеми возможными значениями Y; вероятности найденных возможных значений Z равны произведениям вероятностей складываемых значений X и Y. Если X н Y-непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения g(z) суммы Z = X+Y (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (- оо, оо) одной формулой) может быть найдена по формуле , либо по равносильной формуле , где f1 и f2-плотности распределения аргументов; если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величины Z=X + Y находят по формуле , либо по равносильной формуле . В том случае, когда обе плотности f1(x) и f2(y) заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности g(z) величины Z = X+Y целесообразно сначала найти функцию распределения G(z), а затем продифференцировать ее по z: g(z)=G’(z). Если X и Y-независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения f1(x) и f2(y), то вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения: Р [(Х, У)сD] = . Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

Р 0,3 0,7 Р 0,6 0,4

Найти распределение случайной величины Z = X + K. Решение. Для того чтобы составить распределение величины Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y: Z 1 = 1+2=3; z 2 = 1+4 = 5; z 3 =3+2 = 5; z4 = 3+4 = 7. Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z=3, достаточно, чтобы величина X приняла значение x1= l и величина К-значение y1=2. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,3 и 0,6. Так как аргументы X и Y независимы, то события Х =1 и Y=2 независимы н, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z = 3) по теореме умножения раина 0,3*0,6=0,18. Аналогично найдем:

Я B=!-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12;

P(Z = 34-2 = 5) =0,7 0.6 = 0,42;

P(Z = 3-Й = 7) =0,7-0,4 = 0.28. Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z 2 = 5, Z=z 3 = 5 (0,12+0,42=0,54):

Z 3 5 7 ; Р 0,18 0,54 0,28 . Контроль: 0,18 + 0,54+0,28 = 1.

Нормальный закон распределения вероятностей

Без преувеличения его можно назвать философским законом. Наблюдая за различными объектами и процессами окружающего мира, мы часто сталкиваемся с тем, что чего-то бывает мало, и что бывает норма:


Перед вами принципиальный вид функции плотности нормального распределения вероятностей, и я приветствую вас на этом интереснейшем уроке.

Какие можно привести примеры? Их просто тьма. Это, например, рост, вес людей (и не только), их физическая сила, умственные способности и т.д. Существует «основная масса» (по тому или иному признаку) и существуют отклонения в обе стороны.

Это различные характеристики неодушевленных объектов (те же размеры, вес). Это случайная продолжительность процессов, например, время забега стометровки или превращения смолы в янтарь. Из физики вспомнились молекулы воздуха: среди них есть медленные, есть быстрые, но большинство двигаются со «стандартными» скоростями.

Далее отклоняемся от центра ещё на одно стандартное отклонение и рассчитываем высоту:

Отмечаем точки на чертеже (зелёный цвет) и видим, что этого вполне достаточно.

На завершающем этапе аккуратно чертим график, и особо аккуратно отражаем его выпуклость / вогнутость ! Ну и, наверное, вы давно поняли, что ось абсцисс – это горизонтальная асимптота , и «залезать» за неё категорически нельзя!

При электронном оформлении решения график легко построить в Экселе, и неожиданно для самого себя я даже записал короткий видеоролик на эту тему. Но сначала поговорим о том, как меняется форма нормальной кривой в зависимости от значений и .

При увеличении или уменьшении «а» (при неизменном «сигма») график сохраняет свою форму и перемещается вправо / влево соответственно. Так, например, при функция принимает вид и наш график «переезжает» на 3 единицы влево – ровнехонько в начало координат:


Нормально распределённая величина с нулевым математическим ожиданием получила вполне естественное название – центрированная ; её функция плотности – чётная , и график симметричен относительно оси ординат.

В случае изменения «сигмы» (при постоянном «а») , график «остаётся на месте», но меняет форму. При увеличении он становится более низким и вытянутым, словно осьминог, растягивающий щупальца. И, наоборот, при уменьшении график становится более узким и высоким – получается «удивлённый осьминог». Так, при уменьшении «сигмы» в два раза: предыдущий график сужается и вытягивается вверх в два раза:

Всё в полном соответствии с геометрическими преобразованиями графиков .

Нормальное распределёние с единичным значением «сигма» называется нормированным , а если оно ещё и центрировано (наш случай), то такое распределение называют стандартным . Оно имеет ещё более простую функцию плотности, которая уже встречалась в локальной теореме Лапласа : . Стандартное распределение нашло широкое применение на практике, и очень скоро мы окончательно поймём его предназначение.

Ну а теперь смотрим кино:

Да, совершенно верно – как-то незаслуженно у нас осталась в тени функция распределения вероятностей . Вспоминаем её определение :
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все действительные значения до «плюс» бесконечности.

Внутри интеграла обычно используют другую букву, чтобы не возникало «накладок» с обозначениями, ибо здесь каждому значению ставится в соответствие несобственный интеграл , который равен некоторому числу из интервала .

Почти все значения не поддаются точному расчету, но как мы только что видели, с современными вычислительными мощностями с этим нет никаких трудностей. Так, для функции стандартного распределения соответствующая экселевская функция вообще содержит один аргумент:

=НОРМСТРАСП(z)

Раз, два – и готово:

На чертеже хорошо видно выполнение всех свойств функции распределения , и из технических нюансов здесь следует обратить внимание на горизонтальные асимптоты и точку перегиба .

Теперь вспомним одну из ключевых задач темы, а именно выясним, как найти –вероятность того, что нормальная случайная величина примет значение из интервала . Геометрически эта вероятность равна площади между нормальной кривой и осью абсцисс на соответствующем участке:

но каждый раз вымучивать приближенное значение неразумно, и поэтому здесь рациональнее использовать «лёгкую» формулу :
.

! Вспоминает также , что

Тут можно снова задействовать Эксель, но есть пара весомых «но»: во-первых, он не всегда под рукой, а во-вторых, «готовые» значения , скорее всего, вызовут вопросы у преподавателя. Почему?

Об этом я неоднократно рассказывал ранее: в своё время (и ещё не очень давно) роскошью был обычный калькулятор, и в учебной литературе до сих пор сохранился «ручной» способ решения рассматриваемой задачи. Его суть состоит в том, чтобы стандартизировать значения «альфа» и «бета», то есть свести решение к стандартному распределению:

Примечание : функцию легко получить из общего случая с помощью линейной замены . Тогда и:

и из проведённой замены как раз следует формула перехода от значений произвольного распределения – к соответствующим значениям стандартного распределения.

Зачем это нужно? Дело в том, что значения скрупулезно подсчитаны нашими предками и сведены в специальную таблицу, которая есть во многих книгах по терверу. Но ещё чаще встречается таблица значений , с которой мы уже имели дело в интегральной теореме Лапласа :

Если же в нашем распоряжении есть таблица значений функции Лапласа , то решаем через неё:

Дробные значения традиционно округляем до 4 знаков после запятой, как это сделано в типовой таблице. И для контроля есть Пункт 5 макета .

Напоминаю, что , и во избежание путаницы всегда контролируйте , таблица КАКОЙ функции перед вашими глазами.

Ответ требуется дать в процентах, поэтому рассчитанную вероятность нужно умножить на 100 и снабдить результат содержательным комментарием:

– с перелётом от 5 до 70 м упадёт примерно 15,87% снарядов

Тренируемся самостоятельно:

Пример 3

Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1,4 до 1,6 см.

В образце решения и далее я буду использовать функцию Лапласа, как самый распространённый вариант. Кстати, обратите внимание, что согласно формулировке, здесь можно включить концы интервала в рассмотрение. Впрочем, это не критично.

И уже в этом примере нам встретился особый случай – когда интервал симметричен относительно математического ожидания. В такой ситуации его можно записать в виде и, пользуясь нечётностью функции Лапласа, упростить рабочую формулу:

Параметр «дельта» называют отклонением от математического ожидания, и двойное неравенство можно «упаковывать» с помощью модуля :

– вероятность того, что значение случайной величины отклонится от математического ожидания менее чем на .

Хорошо то решение, которое умещается в одну строчку:)
– вероятность того, что диаметр наугад взятого подшипника отличается от 1,5 см не более чем на 0,1 см.

Результат этой задачи получился близким к единице, но хотелось бы ещё бОльшей надежности – а именно, узнать границы, в которых находится диаметр почти всех подшипников. Существует ли какой-нибудь критерий на этот счёт? Существует! На поставленный вопрос отвечает так называемое

правило «трех сигм»

Его суть состоит в том, что практически достоверным является тот факт, что нормально распределённая случайная величина примет значение из промежутка .

И в самом деле, вероятность отклонения от матожидания менее чем на составляет:
или 99,73%

В «пересчёте на подшипники» – это 9973 штуки с диаметром от 1,38 до 1,62 см и всего лишь 27 «некондиционных» экземпляров.

В практических исследованиях правило «трёх сигм» обычно применяют в обратном направлении: если статистически установлено, что почти все значения исследуемой случайной величины укладываются в интервал длиной 6 стандартных отклонений, то появляются веские основания полагать, что эта величина распределена по нормальному закону. Проверка осуществляется с помощью теории статистических гипотез .

Продолжаем решать суровые советские задачи:

Пример 4

Случайная величина ошибки взвешивания распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением 3 грамма. Найти вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 5 грамм.

Решение очень простое. По условию, и сразу заметим, что при очередном взвешивании (чего-то или кого-то) мы почти 100% получим результат с точностью до 9 грамм. Но в задаче фигурирует более узкое отклонение и по формуле :

– вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей 5 грамм.

Ответ :

Прорешанная задача принципиально отличается от вроде бы похожего Примера 3 урока о равномерном распределении . Там была погрешность округления результатов измерений, здесь же речь идёт о случайной погрешности самих измерений. Такие погрешности возникают в связи с техническими характеристиками самого прибора (диапазон допустимых ошибок, как правило, указывают в его паспорте) , а также по вине экспериментатора – когда мы, например, «на глазок» снимаем показания со стрелки тех же весов.

Помимо прочих, существуют ещё так называемые систематические ошибки измерения. Это уже неслучайные ошибки, которые возникают по причине некорректной настройки или эксплуатации прибора. Так, например, неотрегулированные напольные весы могут стабильно «прибавлять» килограмм, а продавец систематически обвешивать покупателей. Или не систематически ведь можно обсчитать. Однако, в любом случае, случайной такая ошибка не будет, и её матожидание отлично от нуля.

…срочно разрабатываю курс по подготовке продавцов =)

Самостоятельно решаем обратную задачу:

Пример 5

Диаметр валика – случайная нормально распределенная случайная величина, среднее квадратическое отклонение ее равно мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью попадет длина диаметра валика.

Пункт 5* расчётного макета в помощь. Обратите внимание, что здесь не известно математическое ожидание, но это нисколько не мешает решить поставленную задачу.

И экзаменационное задание, которое я настоятельно рекомендую для закрепления материала:

Пример 6

Нормально распределенная случайная величина задана своими параметрами (математическое ожидание) и (среднее квадратическое отклонение). Требуется:

а) записать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;
б) найти вероятность того, что примет значение из интервала ;
в) найти вероятность того, что отклонится по модулю от не более чем на ;
г) применяя правило «трех сигм», найти значения случайной величины .

Такие задачи предлагаются повсеместно, и за годы практики мне их довелось решить сотни и сотни штук. Обязательно попрактикуйтесь в ручном построении чертежа и использовании бумажных таблиц;)

Ну а я разберу пример повышенной сложности:

Пример 7

Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид . Найти , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения , построить графики плотности и функции распределения, найти .

Решение : прежде всего, обратим внимание, что в условии ничего не сказано о характере случайной величины. Само по себе присутствие экспоненты ещё ничего не значит: это может оказаться, например, показательное или вообще произвольное непрерывное распределение . И поэтому «нормальность» распределения ещё нужно обосновать:

Так как функция определена при любом действительном значении , и её можно привести к виду , то случайная величина распределена по нормальному закону.

Приводим. Для этого выделяем полный квадрат и организуем трёхэтажную дробь :


Обязательно выполняем проверку, возвращая показатель в исходный вид:

, что мы и хотели увидеть.

Таким образом:
– по правилу действий со степенями «отщипываем» . И здесь можно сразу записать очевидные числовые характеристики:

Теперь найдём значение параметра . Поскольку множитель нормального распределения имеет вид и , то:
, откуда выражаем и подставляем в нашу функцию:
, после чего ещё раз пробежимся по записи глазами и убедимся, что полученная функция имеет вид .

Построим график плотности:

и график функции распределения :

Если под рукой нет Экселя и даже обычного калькулятора, то последний график легко строится вручную! В точке функция распределения принимает значение и здесь находится

Говорят, что СВ X имеет равномерное распределение на участке от a до b, если ее плотность f(x) на этом участке постоянна, то есть

.

Например, производится измерение какой-то величины с помощью прибора с грубыми делениями; в качестве приближенного значения измеряемой величины берется ближайшее целое. СВ X — ошибка измерения распределена равномерно на участке , так как ни одно из значений случайной величины ничем не предпочтительнее других.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

где — постоянная положительная величина.

Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Часто длительность времени безотказной работы элементы имеет показательное распределение, функция распределения которого
определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t.

— интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Нормальный закон распределения (иногда называемый законом Гаусса ) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Плотность распределения нормального закона имеет вид

,

где m — математическое ожидание,

— среднее квадратическое отклонение X.

Вероятность того, что нормально распределенная СВ X примет значение, принадлежащее интервалу , вычисляется по формуле: ,

где Ф(X) — функция Лапласа . Ее значения определяются из таблицы приложения учебника по теории вероятностей.

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , вычисляется по формуле

.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.41. Цена одного деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как СВ X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения , где (b-a) — длина интервала, в котором заключены возможные значения X. В рассматриваемой задаче эта длина равна 0,1. Поэтому . Итак, .

Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08). По формуле имеем

ПРИМЕР 13.2.42. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Найти вероятность того, что за время длительностью часов:

а) элемент откажет;

б) элемент не откажет.

Решение. а) Функция определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, поэтому, подставив , получим вероятность отказа: .

б) События «элемент откажет» и «элемент не откажет» — противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не откажет .

ПРИМЕР 13.2.43. Случайная величина X распределена нормально с параметрами . Найти вероятность того, что СВ X отклонится от своего математического ожидания m больше, чем на .

Эта вероятность очень мала, то есть такое событие можно считать практически невозможным (можно ошибиться примерно в трех случаях из 1000). Это и есть “правило трех сигм”: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения .

ПРИМЕР 13.2.44. Математическое ожидание и среднее квадратического отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

Решение.Для нормально распределенной величины

.

Подставив , получим

По таблице находим .

Искомая вероятность .

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета вероятности для непрерывных случайных величин и их характеристик

3.2.9.1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (a,b).

Отв. :

3.2.9.2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Найти плотность распределения СВ T — времени, в течение которого ему придется ждать поезда; . Найти вероятность того, что ждать придется не больше полминуты.

Отв. :

3.2.9.3. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

Отв. :2/3

3.2.9.4. Случайная величина X распределена равномерно на участке (a,b). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на .

Отв. :0

3.2.9.5. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X — в интервале (a,b), Y — в интервале (c,d). Найти математическое ожидание произведения XY.

Отв. :

3.2.9.6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательно распределенной случайной величины.

Отв. :

3.2.9.7. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .

Отв. : ,

3.2.9.8. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Найти .

Отв. :0,233

3.2.9.9. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону , где t — время, ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Отв. :0,37

3.2.9.10. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго ; для третьего элемента . Найти вероятность того, что в интервале времени (0; 5) ч. откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Отв. : а)0,292; б)0,466; в)0,19

3.2.9.11. Доказать, что если непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, то вероятность того, что X примет значение меньшее математического ожидания M(X), не зависит от величины параметра ; б) найти вероятность того, что X > M(X).

Отв. :

3.2.9.12. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Отв. : 0,6826

3.2.9.13. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что а) взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10г; б) из трех независимых взвешиваний ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4г.

Отв. :

3.2.9.14. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина X в результате испытания.

Отв. :(-5,25)

3.2.9.15. Завод изготовляет шарики для подшипников, номинальный диаметр которых равен 10 мм, а фактический диаметр случаен и распределен по нормальному закону с мм и мм. При контроле бракуются все шарики, не проходящие через круглое отверстие с диаметром 10,7 мм и все, проходящие через круглое отверстие с диаметром 9,3 мм. Найти процент шариков, которые будут браковаться.

Отв. :8,02%

3.2.9.16. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с проектной длиной (математическим ожиданием), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

Указание: Из равенства предварительно найти .

Отв. :а)0,0823; б)0,0027

3.2.9.17. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически; их средняя масса равна 1,06 кг. Найти дисперсию, если 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Отв. :0,00133

3.2.9.18. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y (расстояние от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной брошенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

Отв. :

3.2.9.19. В нормально распределенной совокупности 11% значений X меньше 0,5 и 8% значений X больше 5,8. Найти параметры m и данного распределения. >
Примеры решения задач >

> > Распределения непрерывных случайных величин

На практике большинство случайных величин, на которых воздействует большое количество случайных факторов, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому в различных приложениях теории вероятностей этот закон имеет особое значение.

Случайная величина $X$ подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид

$$f\left(x\right)={{1}\over {\sigma \sqrt{2\pi }}}e^{-{{{\left(x-a\right)}^2}\over {2{\sigma }^2}}}$$

Схематически график функции $f\left(x\right)$ представлен на рисунке и имеет название «Гауссова кривая». Справа от этого графика изображена банкнота в 10 марок ФРГ, которая использовалась еще до появления евро. Если хорошо приглядеться, то на этой банкноте можно заметить гауссову кривую и ее первооткрывателя величайшего математика Карла Фридриха Гаусса.

Вернемся к нашей функции плотности $f\left(x\right)$ и дадим кое-какие пояснения относительно параметров распределения $a,\ {\sigma }^2$. Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания. При изменении параметра $a$ и неизмененном параметре ${\sigma }^2$ мы можем наблюдать смещение графика функции $f\left(x\right)$ вдоль оси абсцисс, при этом сам график плотности не меняет своей формы.

Параметр ${\sigma }^2$ является дисперсией и характеризует форму кривой графика плотности $f\left(x\right)$. При изменении параметра ${\sigma }^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал

Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Здесь функция $\Phi \left(x\right)={{1}\over {\sqrt{2\pi }}}\int^x_0{e^{-t^2/2}dt}$ - функция Лапласа. Значения этой функции берутся из . Можно отметить следующие свойства функции $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, то есть функция $\Phi \left(x\right)$ является нечетной.

2 . $\Phi \left(x\right)$ - монотонно возрастающая функция.

3 . ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } \Phi \left(x\right)\ }=0,5$, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } \Phi \left(x\right)\ }=-0,5$.

Для вычисления значений функции $\Phi \left(x\right)$ можно также воспользоваться мастером функция $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right)-0,5$. Например, вычислим значений функции $\Phi \left(x\right)$ при $x=2$.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $X\in N\left(a;\ {\sigma }^2\right)$ в интервал, симметричный относительно математического ожидания $a$, может быть вычислена по формуле

$$P\left(\left|X-a\right| < \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Правило трех сигм . Практически достоверно, что нормально распределенная случайная величина $X$ попадет в интервал $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Пример 1 . Случайная величина $X$ подчинена нормальному закону распределения вероятностей с параметрами $a=2,\ \sigma =3$. Найти вероятность попадания $X$ в интервал $\left(0,5;1\right)$ и вероятность выполнения неравенства $\left|X-a\right| < 0,2$.

Используя формулу

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

находим $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left({{1-2}\over {3}}\right)-\Phi \left({{0,5-2}\over {3}}\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \left(0,33\right)=0,191-0,129=0,062$.

$$P\left(\left|X-a\right| < 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Пример 2 . Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 10. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию будет:

а) более 70 условных денежных единиц?

б) ниже 50 за акцию?

в) между 45 и 58 условными денежными единицами за акцию?

Пусть случайная величина $X$ - цена на акции некоторой компании. По условию $X$ подчинена нормальному закону распределению с параметрами $a=50$ - математическое ожидание, $\sigma =10$ - стандартное отклонение. Вероятность $P\left(\alpha < X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left({{\infty -50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{70-50}\over {10}}\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$б)\ P\left(X < 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$в)\ P\left(45 < X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$